专题04 函数的概念及表示（10大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（苏教版2019必修第一册）

专题04 函数的概念及表示 知识聚焦 考点聚焦 知识点1 函数的定义及相关概念 1、函数的定义：设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A 【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。 （1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：A→B 2、函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域． （3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3、同一个函数：两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数。 知识点2 函数定义域的求法 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、具体函数的定义域求法 （1）分式的分母不能为零. （2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. （3）零次幂的底数不能为零，即中. （4）若函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 2、抽象函数与复合函数定义域的求法 复合函数的定义域是指的范围，而不是的范围。 （1）已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围（值域）为，求的取值范围; （2）已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求出的范围（值域），即的定义域. （3）已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域，即的取值范围，再根据的取值范围求出的范围。 知识点3 函数解析式的求法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 知识点4 分段函数 1、分段函数的定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2、分段函数的性质：（1）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． （2）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 3、求分段函数的函数值 （1）分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． （2）若题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． （3）已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解． · 考点剖析 考点1 函数定义的理解与辨析 【例1】（2023·全国·高一专题练习）某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（ ） A．y是x的函数 B．w是y的函数 C．w是z的函数 D．w是x的函数 【变式1-1】（2023秋·安徽阜阳·高一校考阶段练习）（多选）下列说法正确的是（ ） A．函数值域中的每一个数在定义域中都有数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同 D．表示当时，函数的值，这是一个常量 【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知集合=，集合=，下列能表示从集合到集合的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2022秋·高一单元测试）（多选）下列图象中，能表示函数的