第11期 4.3 解直角三角形 4.4 解直角三角形的应用(答案见第13期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 １６．（１）过点 Ｃ作 ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为 Ｄ，在 Ｒｔ△ＡＣＤ中，ｔａｎＡ＝ＣＤＡＤ ＝４３，所以设ＣＤ＝４ｋ， 则ＡＤ＝３ｋ， 由勾股定理，得ＡＣ ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝ （３ｋ）２＋（４ｋ）槡 ２ ＝ ５ｋ，因为 ＡＣ＝１５，所以 ５ｋ＝１５，解得ｋ＝３，所 以ＡＤ＝９，ＣＤ＝１２，所 以 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＣＤ ＝ １２×１５×１２＝９０． （２） 在 Ｒｔ△ＢＣＤ 中，ＢＤ＝ＡＢ－ＡＤ＝１５ －９＝６，ＣＤ＝１２，所以 由勾股定理，得 ＢＣ＝ ＣＤ２＋ＢＤ槡 ２ ＝ 槡６ ５， 所以ｃｏｓＢ＝ＢＤＣＢ＝ ６ 槡６５ ＝槡５５，所以∠Ｂ的余弦 值为槡 ５ ５． １７．（１）过点 Ａ作 ＡＤ⊥ＢＣ，交ＢＣ的延长 线于点 Ｄ，在 Ｒｔ△ＡＤＣ 中，ＡＣ＝４，因为∠ＡＣＢ ＝１５０°，所以∠ＡＣＤ＝ ３０°，所以ＡＤ＝１２ＡＣ＝ ２，ＣＤ＝ＡＣ·ｃｏｓ３０°＝ ４×槡３２ ＝ 槡２ ３，在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，ｔａｎＢ ＝ ＡＤ ＢＤ＝ ２ ＢＤ ＝ １ ８，所以 ＢＤ＝１６，所以ＢＣ＝ＢＤ －ＣＤ＝１６－ 槡２３． （２）在 ＢＣ边上取 一点Ｍ，使得 ＣＭ ＝ＡＣ ＝４，连接 ＡＭ，因为 ∠ＡＣＢ ＝１５０°，所以 ∠ＡＭＣ ＝ ∠ＭＡＣ ＝ １５°，因为ＣＤ＝ 槡２３，所 以ＭＤ＝４＋ 槡２３，所以 ｔａｎ１５°＝ｔａｎ∠ＡＭＤ＝ ＡＤ ＭＤ ＝ ２ ４＋ 槡２３ ＝ 书 上期２版 ４．１．１正弦 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．Ｄ； ５．７；　６．１２；　７． 槡５ ５；　８． 槡２１ １４． ９．因为 ∠Ｃ＝９０°，∠ＡＤＣ＝４５°，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＡＤＣ＝４５°，所以ＡＣ＝ＣＤ，因为ＢＤ＝２ＤＣ，所以ＢＣ＝ ３ＡＣ，所以ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝槡１０ＡＣ，所以ｓｉｎ∠ＡＢＣ ＝ＡＣＡＢ＝ 槡１０ １０． ４．１．２余弦 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．１２１３；　５．４； ６．槡２５５． ７．因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＣ＝１５，所以ＡＢ＝１５，因为ＢＤ⊥ ＡＣ，所以∠ＡＤＢ＝９０°，因为ｃｏｓＡ＝ＡＤＡＢ＝ ４ ５，所以ＡＤ ＝ ４５×１５＝１２，所以ＣＤ＝ＡＣ－ＡＤ＝１５－１２＝３，在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，根据勾股定理，可得ＢＤ＝ ＡＢ２－ＡＤ槡 ２ ＝ １５２－１２槡 ２ ＝９． 能力提高 　８．因为槡３２ ＜ｃｏｓＡ＜ｃｏｓＢ， 槡３ ２ ＝ ｃｏｓ３０°，当０＜α＜９０°，α越大，ｃｏｓα越小，所以∠Ｂ＜ ∠Ａ＜３０°． ４．２正切 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．６；　５．槡７３； ６．４５°；　７．等腰直角． ８．（１）原式 ＝ ３４； （２）原式 ＝ ７２． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ 二、９．６０°；　１０．５７；　１１． 槡２２ ３；　１２． １ ４； １３．槡２１７ ． 三、１４．（１）原式 ＝ （槡３） ２＋２×槡２２ ２×（槡３２） ２－１２ ＝３＋槡２３ ２－ １ ２ ＝３ ＋槡２； （２）原式 ＝槡３×槡 ３ ３＋ 槡２ ２× 槡２ ２＋（ 槡３ ２） ２×１２ ＝１ ＋１２＋ ３ ４× １ ２ ＝ １５ ８． １５．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，所以 由勾股定理，得ＡＢ＝ ３２＋４槡 ２ ＝５，所以ｓｉｎＡ＝ＢＣＡＢ＝ ４ ５，ｃｏｓＡ＝ ＡＣ ＡＢ＝ ３ ５，ｔａｎＡ＝ ＢＣ ＡＣ＝ ４ ３． 书 重点集训营 １．（２０２３佛山一模）如图１，某中学依山而建，校门 Ａ处有一坡度ｉ＝５∶１２的斜坡ＡＢ，长度为１３米，在坡 顶Ｂ处看教学楼ＣＦ的楼顶Ｃ的仰角∠ＣＢＦ＝４５°，离 Ｂ点４米远的Ｅ处有一个花台，在Ｅ处仰望Ｃ的仰角是 ∠ＣＥＦ＝６０°，ＣＦ的延长线交校门处的水平面于点Ｄ， 求楼顶Ｃ的高度ＣＤ（结果保留根号）． ２．（２０２３河南模拟）鹏鹏和好朋友一起旅游．如图 ２，他们租住的宾馆ＡＢ坐落在坡度为ｉ＝１∶２４的斜坡 ＢＤ上．宾馆ＡＢ高为１２９米．鹏鹏在宾馆顶楼的海景房Ａ 处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像 Ｃ（雕像的高度 忽略不计），已知雕像 Ｃ距离海岸线 Ｄ的距离 ＣＤ为 ２６０米，与宾馆ＡＢ的水平距离为３６米，远处海面上一 艘即将靠岸的轮船Ｅ的俯角为２７°． （１）求ＢＣ的长度； （２）求轮船Ｅ距离海岸线Ｄ的距离ＥＤ的长（结果 保留整数，参考数据：ｔａｎ２７°≈０５１，ｓｉｎ２７°≈０４５）． 辅助线周周练 １．如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，Ｄ为ＢＣ的中 点，点Ｅ在ＡＢ上，ＡＤ，ＣＥ交于点Ｆ，ＡＥ＝ＥＦ＝４，ＦＣ＝ ９，则ｃｏｓ∠ＡＣＢ的值为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．如图２，△ＡＢＣ中，ＣＤ为边ＡＢ上的中线，