第14期 25.3 用频率估计概率 第二十五章整章复习-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 自主学习 １．频率：在相同条件下重复ｎ次试验，事件Ａ发生的 次数ｍ与试验总次数ｎ的比值． ２．概率：一般地，如果一个试验有ｎ种结果，而且每 种结果出现的可能性相同，其中事件Ａ包含其中的ｍ种 结果，那么事件Ａ发生的概率为Ｐ（Ａ）＝ｍｎ． ３．频率不等于概率，但试验次数足够大时，试验频率相 对稳定在概率附近，因此可以用此时的频率值估计概率． 课堂直播 １．由频率估计概率 例１　（２０２２辽宁）质检部门对某批产品的质量进 行随机抽检，结果如下表所示： 抽检产品数ｎ １００ １５０ ２００ ２５０ ３００ ５００ １０００ 合格产品数ｍ ８９ １３４ １７９ ２２６ ２７１ ４５１ ９０４ 合格率 ｍ ｎ ０．８９０ ０．８９３ ０．８９５ ０．９０４ ０．９０３ ０．９０２ ０．９０４ 在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约 是 （结果保留一位小数）． 解析：由表格中的数据可得，在这批产品中任取一 件，恰好是合格产品的概率约是０．９．故填０．９． ２．由频率估计个数 例２　（２０２２灯塔模拟）在一个不透明的盒子中装 有ｍ张看上去无差别的卡片，其中两面均为蓝色的卡片 只有４张．搅匀后，从盒子中任意抽出１张卡片记下颜 色，再放回盒子中，通过大量重复抽取卡片试验，发现抽 到两面均为蓝色卡片的频率稳定在０．２附近，则ｍ的值 约为 ． 解析：由题意知，盒子中卡片的总数量 ｍ约为４÷ ０．２＝２０．故填２０． 交流探索 例３　某数学兴趣小组 做“用频率估计概率”的试 验时，统计了某一事件发生 的频率，绘制了如图所示的 折线图： （１）该事件最有可能是 （填写你认为正确 的序号）； ①一个路口的红绿灯，红灯的时间为３０秒，黄灯的 时间为５秒，绿灯的时间为４０秒，某人经过该路口时，看 见红灯的概率；②掷一枚硬币，正面朝上；③ 暗箱中有 １个红球和２个黄球，这些球除了颜色外无差别，从中 任取一球是红球． （２）请你设计一个游戏，多次掷一枚质地均匀的标 有数字１～６的正六面体骰子，当骰子向上的面的点数为 时，该事件发生的概率接近于图中的频率． 解析：（１）由折线统计图可得，该事件最有可能是 暗箱中有１个红球和２个黄球，这些球除了颜色外无差 别，从中任取一球是红球．故填③． （２）设计的一个游戏，多次掷一枚质地均匀的标有 数字１～６的正六面体骰子，当骰子数字１或２正面朝 上，该事件发生的概率为 １ ３，接近于图中的频率．故填１ 或２（答案不惟一）． 书 一、“频率”与“概率”相混淆 例１　假设抛一枚质地均匀的硬币１０次，有３次出 现正面，７次出现反面，则出现反面的概率是 ， 出现反面的频率是 ． 错解： ７ １０，０．７． 剖析：频率不等于概率，但试验次数足够多时，事件 发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此可以用此时的 频率值估计概率，错解在于试验的次数不够多，只通过 １０次试验就用频率估计概率． 正解： 二、“放回”与“不放回”相混淆 例２　不透明袋中装有大小形状质地完全相同的 ４个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、蓝色、黄 色，从中一次性随机取出２个小球，取出２个小球的颜色 恰好是一红一蓝的概率是 ． 错解：列表如下： 红 白 蓝 黄 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） （红，黄） 白 （白，红） （白，白） （白，蓝） （白，黄） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） （蓝，黄） 黄 （黄，红） （黄，白） （黄，蓝） （黄，黄） 由表格可知，所有等可能出现的结果共有１６种，其 中取出２个小球的颜色恰好是一红一蓝的结果有２种， 所以Ｐ＝ ２１６＝ １ ８． 剖析：错解没有注意到是一次性摸出２个小球，也就 是摸出一个后“不放回”再摸出一个，所以在列表时，两 种颜色的球重复的一栏是不符合题意的． 正解： 书 数学思想是数学知识的精髓，是数学的生命和灵 魂，是把知识转化为能力的桥梁．现举例说明本章中涉 及的数学思想． 一、整体思想 例１　如图１，在两个同心圆中，四条直径把大圆 分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在灰色区域 的概率是 ． 解析：可将小圆绕圆心旋转４５°而圆环部分不动， 如图２所示，这样容易求出灰色区域的面积占大圆面积 的 １ ２，即Ｐ（飞镖落在灰色区域）＝ １ ２．故填 １ ２． 点评：本题通过旋转小圆，使图中的灰色区域集中 在一起，从而方便求出灰色区域占大圆面积的比例． 二、分类思想 例２　（２０２２河源期末）在ｘ２□２ｘｙ□ｙ２的□中，分 别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，不能构成完全 平方式的概率是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１ Ｂ．３４ Ｃ． １ ２ Ｄ． １ ４ 解析：两个“□”中填的可能是同号，也可能是异 号，因此应分两种情况： （１）当两个“□”中填的是同号时：①同时是“