专题11 双曲线的标准方程6种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(苏教版2019选择性必修第一册)

专题11 双曲线的标准方程6种常见考法归类 1、双曲线定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距． 注意点： （1）双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； （2）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （4）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （5）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 2、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 注意点： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 3、求双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解． (2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． 4、利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)求出双曲线的标准方程． (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)． 5、双曲线方程的设法 若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0. (2)与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程为＋＝1(－a2<λ<－b2)；与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程为＋＝1(－a2<λ<－b2)． 与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ<b2)． 6、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 7、求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式； ③通过配方，整体的思想求出PF1·PF2的值； ④利用公式＝×PF1·PF2·sin∠F1PF2求得面积． (2)利用公式＝×F1F2×|yP|求得面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 双曲线的定义及应用 考点二 求双曲线的标准方程 考点三 双曲线方程的充要条件 考点四 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 考点五 双曲线上两线段的和差最值问题 考点六 求双曲线的轨迹方程 考点一 双曲线的定义及应用 1．（2023秋·高二课前预习）判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． （1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹是双曲线.( ) （2）平面内到点，的距离之差等于的点的轨迹是双曲线．( )     （3）平面内到点，的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是双曲线．( ) （4）双曲线的标准方程中，，的大小关系是.( ) 2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·高二课时练习）已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 4．【多选】（2023秋·河南焦作·高二校考阶段练习）平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（    ） A．椭圆 B．一条直线 C．两条射线 D．双曲线 5．（2023·全国·高二随堂练习）如图，已知动圆M与两个定圆和分别外切，则动圆圆心M的轨迹是什么图形？    6．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的下、上焦