第9期 双曲线(二)-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修一同步学案（北师大版2019）

书 方法一、直接算出ａ，ｃ，求解ｅ 已知标准方程或ａ，ｃ易求时，可利用离心率公式 ｅ ＝ ｃａ来求解． 例１已知点（２，３）在双曲线Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０， ｂ＞０）上，Ｃ的焦距为４，则它的离心率为 ． 分析：利用ｃ＝２，点（２，３）在双曲线上，求出 ａ，ｂ， 再求离心率． 解：由题知 ４ ａ２ －９ ｂ２ ＝１，ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ ＝４． 所以ａ＝１，ｂ＝槡３，所以ｅ＝２．故填２． 方法二、寻找ａ，ｃ的关系式，求解ｅ 例２已知Ａ，Ｂ为双曲线Ｅ的左、右顶点，点Ｍ在Ｅ 上，△ＡＢＭ为等腰三角形，且顶角为１２０°，则Ｅ的离心率 为 （　　） （Ａ）槡５　　　　　（Ｂ）２　　 （Ｃ）槡３　　 （Ｄ）槡２ 解：设双曲线的方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 如图１所示，｜ＡＢ｜＝｜ＢＭ｜，∠ＡＢＭ＝１２０°，过点Ｍ作 ＭＮ⊥ ｘ轴，垂足为 Ｎ．在 Ｒｔ△ＢＭＮ中，｜ＢＮ｜＝ａ，｜ＭＮ｜ ＝槡３ａ， 故点 Ｍ的坐标为 Ｍ（２ａ， 槡３ａ）， 代入双曲线方程得ａ２ ＝ｂ２ ＝ｃ２－ａ２， 即ｃ２ ＝２ａ２， 所以ｅ＝槡２，故选（Ｄ）． 方法三、构造ａ，ｃ的齐次式，求解ｅ 根据题设条件借助ａ，ｂ，ｃ之间的关系，找出 ａ，ｃ的 关系（特别是二次齐次式），进而得到关于 ｅ的方程，从 而解方程得出离心率ｅ． 例３如图 ２，Ａ，Ｆ分别是双曲线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左顶 点、右焦点，过Ｆ的直线ｌ与Ｃ的一条 渐近线垂直且与另一条渐近线和ｙ轴 分别交于Ｐ，Ｑ两点．若ＡＰ⊥ＡＱ，则Ｃ 的离心率是 （　　） （Ａ）槡２　　　　　（Ｂ）槡３　 （Ｃ）１＋槡１３４ 　 （Ｄ） １＋槡１７ ４ 解：由题意，得Ａ（－ａ，０），Ｆ（ｃ，０），双曲线的渐近线 方程为ｙ＝±ｂａｘ．由条件设直线ｌ的方程为ｙ＝－ ａ ｂ（ｘ －ｃ），则Ｑ点坐标为 ０，ａｃ( )ｂ ． 联立 ｙ＝－ｂａｘ， ｙ＝－ａｂ（ｘ－ｃ { ） 得Ｐ (点坐标为 ａ２ｃａ２－ｂ２，－ ａｂｃａ２－ｂ )２ ． 因为ＡＰ⊥ＡＱ，所以ｋＡＰ·ｋＡＱ ＝ － ａｂｃ ａ２－ｂ２ ａ２ｃ ａ２－ｂ２ ＋ａ · ａｃ ｂ ａ ＝ －１，化简整理，得ｃ２＋ｂ２－ａｃ－ａ２ ＝０，即２ｃ２－２ａ２－ ａｃ＝０，即２ｅ２－ｅ－２＝０， 解得ｅ＝１＋槡１７４ 或 １－槡１７ ４ （舍），故选（Ｄ）． 方法四、变用公式，整体求出ｅ 例４设双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的渐近线 与曲线ｙ＝ｘ２＋１相切，则该双曲线的离心率等于 （　　） （Ａ）槡３　　（Ｂ）２　　（Ｃ）槡５　　（Ｄ）槡６ 分析：先设出双曲线的渐近线方程，由条件知渐近 线与曲线相切，由此可得渐近线的斜率，再转化为求离 心率． 解：由题意知渐近线斜率存在，设渐近线的斜率为ｋ， 则渐近线方程为ｙ＝ｋｘ， 代入曲线方程ｙ＝ｘ２＋１，消去ｙ得ｘ２－ｋｘ＋１＝０， 由于相切，则有Δ＝ｋ２－４＝０，即ｋ２ ＝４． 又双曲线的离心率 ｅ＝ ｃａ ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ ａ ＝ １＋ｂ ２ ａ槡 ２ ＝ １＋ｋ槡 ２，则ｅ＝ ｃａ ＝ １＋槡 ４＝槡５． 书 一、双曲线定义———与椭圆相伴相离 双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差，它们之间 的和谐美与对立美闪耀在图形之上，渗透于方程之中． 从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三： １．双曲线要求动点到两定点距离之差的绝对值为 常数（小于两定点间的距离），而椭圆则要求动点到两定 点距离之和为常数（大于两定点间的距离）； ２．主要参数ａ，ｂ，ｃ之间的关系，双曲线要求ｃ２ ＝ａ２ ＋ｂ２，其中 ａ，ｂ，ｃ分别表示双曲线的实、虚半轴和半焦 距．而椭圆则要求ａ２＝ｂ２＋ｃ２，其中ａ，ｂ，ｃ分别表示椭圆 的长、短半轴和半焦距． 例１椭圆ｘ ２ ｍ ＋ ｙ２ ｎ ＝１（ｍ＞ｎ＞０）与双曲线 ｘ２ ａ－ ｙ２ ｂ ＝１（ａ＞ｂ＞０）有相同的焦点Ｆ１，Ｆ２．Ｐ是两条曲线 的一个交点，则｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜的值是 （　　） （Ａ）ｍ－ａ　　　　　　（Ｂ）１２（ｍ－ａ） （Ｃ）ｍ２－ａ２ （Ｄ）槡ｍ－槡ａ 解析：因为椭圆的长半轴为槡ｍ， 所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２槡ｍ， ① 因为双曲线的实半轴为槡ａ， 故｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝±２槡ａ， ② 由①２－②２得４｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝４（ｍ－ａ）， 即｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｍ－ａ，故选（Ａ）． 二、渐近线———双曲线与直线相约天涯 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有．双曲线的 许多特性围绕着渐近线而展开． 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不与 其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线 的范围，而且由于处理直线问题比处理曲线问题容易得 多，所以这一性质被广泛应用于有