第2章 第4节 二次函数与幂函数-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（苏教版 新教材 新高考）

第四节　二次函数与幂函数 热点命题分析 学科核心素养 本节在高考中很少单独命题，常与其他函数、不等式、方程等知识综合考查，是高考中的一个热点，主要考查二次函数的图象和性质，而对幂函数要求较低，常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下． 本节通过二次函数和幂函数的图象和性质考查分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理、数学运算核心素养． 授课提示：对应学生用书第24页 知识点一　幂函数 1．幂函数的概念 我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． 2．常用幂函数的图象与性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在R上单 调递增 在(－∞，0) 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上单 调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减 图 象 过定点 (0，0)，(1，1) (1，1) 由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到．　 1．(多选)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，27)，则幂函数f(x)是(　　) A．奇函数　　　　　　　 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 解析：设幂函数为f(x)＝xa(a为常数)，因为其图象经过点(3，27)，所以27＝3a，解得a＝3，所以幂函数f(x)＝x3．因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又a＝3＞0，所以f(x)在R上是增函数． 答案：AC 2．如图所示是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限内的图象，则a，b，c的大小关系为________． 解析：根据幂函数的性质可知a＜0，b＞1，0＜c＜1，故a＜c＜b． 答案：a＜c＜b 3．(易错题)已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围为________． 解析：由题意知解得3＜a＜5． 答案：(3，5) 知识点二　二次函数 二次函数的图象和性质 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0) a＞0 a＜0 图象 定义域 R 值域 单调性 在上递减，　　　 在上递增　　　　 在上递增，　　　 在上递减　　　　 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图象特点 ①对称轴：x＝－； ②顶点： 1．注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论． 2一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a＞0且Δ＜0”． (2)“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a＜0且Δ＜0”．　 1．(易错题)若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　　　 　 B．[－2，2] C．(－2，2] D．(－∞，－2) 解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，恒成立，所以a＝2时，成立；当a－2≠0，即a≠2时，a满足 解得－2＜a＜2．综上，可知a的取值范围是(－2，2]． 答案：C 2．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m的值是(　　) A．－2 B．4 C．3 D．－2或3 解析：f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数⇒m2－m－5＝1⇒m＝－2或m＝3． 又在x∈(0，＋∞)上是增函数， 所以m＝3． 答案：C 3．已知函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋a在区间[2，5]上单调，则a的取值范围为________． 解析：∵函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋a的对称轴方程为x＝－，且f(x)在[2，5]上单调， ∴－≤2或－≥5，解得a≥－3或a≤－9． ∴a的取值范围是(－∞，－9]∪[－3，＋∞)． 答案：(－∞，－9]∪[－3，＋∞) 4．如图所示，若a＜0，b＞0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是________(填序号)． 解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故①，④不正确．又a＜0，b＞0，所以二次函数图象的对称轴为x＝－＞0，故③正确． 答案：③ 授课提示：对应学生用书第25页 题型一　幂函数的图象与性质 1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则y＝f(x)的图