第11章 第8节 超几何分布与正态分布-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版单选 新教材 老高考）

第八节　超几何分布与正态分布 课程标准　1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．　2.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率直方图的几何直观了解正态分布的特征．　3.了解正态分布的均值、方差及其意义． 授课提示：对应学生用书第246页 知识点一　超几何分布 1．一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件(不放回)，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 2.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝. 知识点二　正态分布 1．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 2．正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3. 1．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝(　　) A．0.954　　　　　　　　 B．0.977 C．0.488 D．0.477 答案：A 2．(易错题)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　) A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 答案：B 3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)＝________. 答案： 4．已知随机变量X服从正态分布X～N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________. 答案： 授课提示：对应学生用书第246页 题型一　超几何分布 例1　(2023·天津模拟)某中学用简单随机抽样的方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如下． 社会实践次数 [0,3) [3,6) [6,9) [9,12) [12,15) [15,18] 男同学人数 7 15 11 12 2 1 女同学人数 5 13 20 9 3 2 将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”． (1)将频率视为概率，估计该校1 600名学生中“社会实践标兵”有多少人． (2)从已抽取的“社会实践标兵”中随机抽取4名同学参加社会实践表彰活动． (ⅰ)设事件A为“抽取的4名同学中既有男同学又有女同学”，求事件A发生的概率； (ⅱ)用X表示抽取的“社会实践标兵”中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． [解]　(1)样本中社会实践次数不低于12次的学生有2＋1＋3＋2＝8(人)， 所以该校1 600名学生中“社会实践标兵”约有1 600×＝128(人)． (2)由(1)知样本中有8名“社会实践标兵”，其中男同学3人，女同学5人． (ⅰ)记为“抽取的4名同学全是女同学”，则P()＝＝， 所以P(A)＝1－P()＝1－＝. (ⅱ)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝ ＝. 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 法一：所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 法二：因为X服从超几何分布，所以E(X)＝＝. 　1.超几何分布的特点和应用条件 (1)超几何分布的两个特点：①超几何分布是不放回抽样问题；②随机变量表示抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的应用条件：①两类不同的对象(物品、人或事)；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体． 2．求超几何分布的分布列的步骤 第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； 第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步，用表格的形式列出分布列． 3．求超几何分布的均值与方差的方法 (1)列出随机变量X的分布列，利用均值与方差的计算公式直接求解； (2)利用公式E(X)＝，D(X)＝求解