第8章 第3节 圆的方程-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教A版单选 新教材 老高考）

第三节　圆的方程 课程标准　回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． 授课提示：对应学生用书第166页 知识点一　圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 充要条件： D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 知识点二　点与圆的位置关系 　平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)d＞r ⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)d＝r ⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)d＜r ⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内． 1．(2023·南昌二中月考)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1,1)　　　　　　　　 B．(－，) C．(－，) D. 答案：C 2．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________． 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) 3．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 答案：(－2，－4)　5 4．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________． 答案：(x－2)2＋y2＝10 授课提示：对应学生用书第167页 题型一　求圆的方程 例1　△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圆的标准方程． [解]　设所求的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.① 因为A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是 即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2，得到关于a，b的二元一次方程组 解此方程组，得 代入(5－a)2＋(1－b)2＝r2，得r2＝25. 所以，△ABC的外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 　求圆的方程的两种方法 1．几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2．待定系数法：(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 　已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程． 解：设圆心C的坐标为(a，b)．因为圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，所以a－b＋1＝0.① 因为A，B是圆上两点，所以|CA|＝|CB|. 根据两点间距离公式，有 ＝， 即a－3b－3＝0.② 由①②可得a＝－3，b＝－2.所以圆心C的坐标是(－3，－2)． 圆的半径r＝|AC|＝＝5. 所以，所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 题型二　与圆有关的轨迹问题 例2　(2023·衡水中学调研)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． [解]　(1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝，kBC＝， 所以·＝－1， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)． 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 　与圆有关的轨迹方程问题的求解方法 　已知点P(2,2)，圆C：x2