第4章 第3节 第1课时 两角和与差的三角函数公式-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第三节　三角恒等变换 第一课时　两角和与差的三角函数公式 课程标准　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．　2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 授课提示：对应学生用书第73页 知识点　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(Cα＋β) 2．cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(Cα－β) 3．sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(Sα＋β) 4．sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.(Sα－β) 5．tan(α＋β)＝.(Tα＋β) 6．tan(α－β)＝.(Tα－β) 1．已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos为(　　) A.　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：∵cos α＝－，α是第三象限角， ∴sin α＝－＝－. ∴cos＝(cos α－sin α)＝ ＝. 答案：A 2.sin 15°＋sin 75°＝(　　) A.　　　　　　　　　 B．1 C. D. 解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝. 答案：C 3．已知tan＝2，则cos 2α＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：由tan＝＝2，解得tan α＝， 则cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝. 答案：D 4．(易错题)已知α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝(　　) A. B. C.或 D.或 解析：因为α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝， 所以sin α＝，sin β＝， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝ －. 又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 答案：B 5．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝________. 解析：原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°) ＝sin 30°＝. 答案： 6．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________. 解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第73页 题型一　两角和与差三角函数公式的直接应用 例1　(1)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1　　　 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 (2)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－，2)，则tan的值为(　　) A．－3 B．－ C．－ D．－ (3)设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b [解析]　(1)因为sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β，2cossin β＝(2cos α－2sin α)sin β＝2cos αsin β－2sin αsin β，所以sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2cos αsin β－2sin αsin β，即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，进而得sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，又知cos(α－β)≠0，所以tan(α－β)＝－1. (2)因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－，2)，所以tan α＝＝－， 则tan＝ ＝＝－3. (3)由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈为增函数，所以sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，所以a＞c＞b. [答案]　(1)C　(2)A