第4章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 课程标准　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.　2.能利用单位圆的对称性推导出±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切的诱导公式． 授课提示：对应学生用书第69页 知识点一　同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1. 2．商数关系：tan α＝. 知识点二　诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 1．化简sin 690°的值是(　　) A.　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－. 答案：B 2．已知α∈，sin α＝，则cos(π－α)＝(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：∵α∈，sin α＝，∴cos α＝－＝－，∴cos(π－α)＝－cos α＝. 答案：A 3．已知sin＝，则sin的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：sin＝sin＝sin＝. 答案：C 4．若sin α＝，＜α＜π，则tan α＝________. 解析：∵＜α＜π，∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝＝－. 答案：－ 5．已知tan α＝2，则的值为________． 解析：原式＝＝＝3. 答案：3 授课提示：对应学生用书第70页 题型一　同角三角函数基本关系式的应用 角度(一)　公式的直接应用 例1　(1)若α∈，sin(π－α)＝，则tan α＝(　　) A．－　　　　　　　　 B. C．－ D. (2)若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－，则sin＋cos＝(　　) A.　　B．－　　　C.　　　D．－ [解析]　(1)因为α∈，sin(π－α)＝sin α＝， 所以cos α＝－，所以tan α＝－. (2)由题意，tan θ＝＝－，θ∈(0，π)，故sin θ＞0，cos θ＜0. 又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin θ＝，cos θ＝－. 因此，sin＋cos＝－cos θ＋sin θ＝. [答案]　(1)C　(2)C 　由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断角的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 1．已知cos θ＝且＜θ＜2π，则sin θ＋tan θ＝(　　) A．－　　　　　　　　 B. C．－ D. 解析：由cos θ＝且＜θ＜2π，得sin θ＝－＝－，∴tan θ＝＝－. ∴sin θ＋tan θ＝－－＝－. 答案：A 2．已知tan α＝2，π＜α＜，则sin α＋cos α＝(　　) A．－ B．－ C．－ D. 解析：由tan α＝＝2，得sin α＝2cos α. 代入sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝. 又π＜α＜，∴cos α＝－，sin α＝tan αcos α＝－， ∴sin α＋cos α＝－. 答案：A 角度(二)　sin α与cos α的齐次式问题 例2　(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C. D. [解析]　法一(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限， 所以或所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝. 法二(弦化切法)：因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝. [答案]　C 　若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型． 3．已知＝5，则cos2α＋sin 2α的值是(　　) A. B．－ C．－3 D．3 解析：由＝5得＝5，可得tan α＝2，则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝. 答案：A 角度(三)　sin α±cos α，sin αcos α之间的关系问题 例3　已知α为第二象限角，且sin α＋cos α＝，则cos α－sin α＝(　　) A.　　　　　　　　 B．－ C．± D．－ [解析]　法一(整体代入法)：由sin