第4章 第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念 课程标准　1.了解任意角的概念和弧度制的概念．　2.能进行弧度与角度的互化．　3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 授课提示：对应学生用书第66页 知识点一　角的概念 1．定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．分类 3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 知识点二　弧度制的定义和公式 1．定义：在单位圆内把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，弧度记作rad. 2．公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 (1)1°＝ rad；(2)1 rad＝ 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点三　任意角的三角函数 1. 三角函数 正　弦 余　弦 正　切 定　义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫作α的正弦，记作sin α x叫作α的余弦，记作cos α 叫作α的正切，记作tan α 各象限符号 一 ＋ ＋ ＋ 二 ＋ － － 三 － － ＋ 四 － ＋ － 2.任意角的三角函数的定义(推广) 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝，cos x＝，tan α＝(x≠0)，其中r＝. 1．(多选)下列说法中错误的是(　　) A．终边相同的角必相等 B．锐角必是第一象限角 C．小于90°的角是锐角 D．第二象限角必大于第一象限角 解析：A.终边相同的角必相等错误，如0°与360°终边相同，但不相等； B．锐角必是第一象限角，正确； C．小于90°的角是锐角，错误，如负角； D．第二象限角必大于第一象限角，错误，如120°是第二象限角，390°是第一象限角，但390°大于120°.综上，错误的是A，C，D. 答案：ACD 2．(2023·舒兰模拟)角α＝－60°＋k·180°(k∈Z)的终边落在(　　) A．第四象限　　　　 B．第一、二象限 C．第一象限 D．第二、四象限 解析：令k＝0，则α＝－60°，角α的终边在第四象限；再令k＝1，则α＝－60°＋180°＝120°，角α的终边在第二象限． 答案：D 3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为(　　) A．40π cm2 B．80π cm2 C．40 cm2 D．80 cm2 解析：∵72°＝，∴S扇形＝αr2＝××202＝80π(cm2)． 答案：B 4．(2023·安阳模拟)已知角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，且sin α＝，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，且sin α＝＝，得y＝4，则tan α＝＝－. 答案：A 5．(易错题)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　　) A. B. C. D.(k∈Z) 解析：阴影部分的两条边界分别是 和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)． 答案：D 第四章　三角函数高考总复习　数学 6.(易错题)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为________． 解析：设扇形的半径为r cm，圆心角α所对的弧长为l cm.由题意得解得或∴α＝8或.又∵0＜α＜2π，∴α＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第67页 题型一　任意角的概念 例1　(1)(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　) A．第一象限角　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) (3)(2023·六安模拟)若角θ与2θ的终边关于x轴对称，且－π≤θ≤π，则θ所构成的集合为________． [解析]　(1)因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°＜2α＜k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°＜α＜k·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n，n∈Z时，n·360°＜α＜n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°＜α＜n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角． (2)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边重合，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边重合． (3)角θ与2θ的终边关于x轴对称，所以得到θ＝2kπ－2θ，k∈Z，所以θ＝，k∈Z. 因为－π≤θ≤π，所以k＝－1,0,1，所以θ＝－，0，.