第3章 第2节 第2课时 利用导数研究函数的极值与最值-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第二课时　利用导数研究函数的极值与最值 授课提示：对应学生用书第61页 题型一　利用导数解决函数的极值问题 角度(一)　根据图象判断函数的极值 例1　(1)(2023·郑州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) (2)若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则x＋x等于(　　) A.　　　　　　 B. C. D. [解析]　(1)由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0. 由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． (2)因为函数f(x)的图象过原点，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即解得所以函数f(x)＝x3－x2－2x.所以f′(x)＝3x2－2x－2.由题意知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝. [答案]　(1)D　(2)C 　由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点： 1．由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点． 2．由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 1．(多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．－3是函数y＝f(x)的极值点 B．－1是函数y＝f(x)的极小值点 C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增 D．－2是函数y＝f(x)的极大值点 解析：由题图知f′(－3)＝0且两侧符号相反，故A正确；在(－3,1)上y＝f′(x)≥0(当且仅当x＝－1时，“＝”号成立)，所以y＝f(x)在(－3,1)上递增，B，D错误，故C正确． 答案：AC 2．(2023·贵阳四校联考)已知y＝x·f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　) 解析：由题图可知，当x＜0时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当0＜x＜b时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x＞b时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．又f′(b)＝0，所以当x＝b时，f(x)取得极大值，综上，满足题意的f(x)的图象可能是D. 答案：D 角度(二)　求函数的极值 例2　已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R. (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)令g(x)＝f(x)－(ax－1)，求函数g(x)的极值． [解]　(1)当a＝0时，f(x)＝ln x＋x， 则f(1)＝1，所以切点为(1,1)， 又f′(x)＝＋1， 所以切线斜率k＝f′(1)＝2， 故切线方程为y－1＝2(x－1)， 即2x－y－1＝0. (2)g(x)＝f(x)－(ax－1)＝ln x－ax2＋(1－a)x＋1， 则g′(x)＝－ax＋(1－a)＝， 当a≤0时，因为x＞0，所以g′(x)＞0. 所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数，函数g(x)无极值． 当a＞0时，g′(x)＝ ＝－， 令g′(x)＝0得x＝. 所以当x∈时，g′(x)＞0； 当x∈时，g′(x)＜0. 所以g(x)在上是增函数，在上是减函数． 所以x＝时，g(x)有极大值g＝ln－×＋(1－a)·＋1＝－ln a. 综上，当a≤0时，函数g(x)无极值； 当a＞0时，函数g(x)有极大值－ln a，无极小值． 　利用导数研究函数极值问题的一般流程 3．已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为(　　) A．2e－1 B．－ C．1 D．2ln 2 解析：由题意知f′(x)＝－. 所以f′(e)＝2f′(e)－，则f′(e)＝. 因此f′(x)＝－.令f′(x)＝0，得x＝2e. 所以f(x)在(0,2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减． 所以f(x)在x＝2e处取极大值f(2e)＝2ln(2e)－2＝2ln 2. 答案：D 4．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　) A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 解析：f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]e