第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的计算-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第一节　导数的概念及其意义、导数的计算 课程标准　1.了解导数概念的实际背景．　2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．　3.能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．　4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．　5.了解复合函数的求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数． 授课提示：对应学生用书第52页 知识点一　函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数 记法 记作f′(x0)，即f′(x0)＝ ＝ 几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义 知识点二　基本初等函数的导数公式 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝0 y＝xα(α是实数) y′＝αxα－1 y＝ax(a>0，a≠1) y′＝axln_a特别地(ex)′＝ex y＝logax(a>0，a≠1) y′＝特别地(ln x)′＝ y＝sin x y′＝cos_x y＝cos x y′＝－sin_x y＝tan x y′＝ 知识点三　导数的运算法则 1．导数的四则运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． (4)[kf(x)]′＝kf′(x)，k∈R. 2．复合函数的导数 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)． 1．(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x 答案：ACD 2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　) A．9.1米/秒　　　　　　 B．6.75米/秒 C．3.1米/秒 D．2.75米/秒 答案：C 3．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C．－ D．－ 答案：C 4．(易错题)函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 答案：C 5．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　) A．4 B．－ C．2 D．－ 答案：A 6．(易错题)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 授课提示：对应学生用书第53页 题型一　变化率问题 例1　(1)一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　) A．2　　　　　　　 B．1 C．－1 D．6 (2)已知一直线运动的物体，当时间从t变到t＋Δt时物体的位移为Δs，那么 为(　　) A．时间从t变到t＋Δt时物体的速度 B．在t时刻该物体的瞬时速度 C．当时间为Δt时物体的速度 D．时间从t变到t＋Δt时物体的平均速度 (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，若f′(x0)＝4，则 的值为________. [解析]　(1)由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1. (2)表示从时间t到t＋Δt时物体的平均速度，从而 表示在t时刻该物体的瞬时速度． (3) ＝2 ＝2 ＝2f′(x0)＝8. [答案]　(1)B　(2)B　(3)8 　1.求平均变化率的步骤 物体的运动方程为y＝f(x)，求在区间[x0，x]的平均变化率的步骤： (1)求时间的改变量Δx＝x－x0.