第2章 第7节 第2课时 实际问题中的函数模型-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第二课时　实际问题中的函数模型 课程标准　理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学工具．在实际情境中，会选择合适的函数． 授课提示：对应学生用书第47页 知识点一　指数、对数、幂函数模型性质比较 　　　函数 性质 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识点二　几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0，且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0，且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)＞g(x)＞h(x)　　 B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x) 解析：由图象(图略)知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)． 答案：B 2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________． 解析：设隔墙的长度为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，则y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y最大． 答案：3 3．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xa(a为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元．若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为________万元． 解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xa中，得3a＝27，解得a＝3，故函数解析式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125. 答案：125 4．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍． 解析：M＝lg 1 000－lg 0.001＝6,9＝lg A－lg 0.001， ∴A＝106,5＝lg A－lg 0.001，∴A＝102，∴＝104. 答案：6　10 000(或104) 5．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系的图象，根据图象判断：通话2 min，需付电话费________元；通话5 min，需付电话费________元；如果t≥3，那么电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系式是________． 解析：由题图知，通话2 min，需付电话费3.6元，通话5 min，需付电话费6元． 当t≥3时，设y＝kx＋b(k≠0)，则有 解得∴t≥3时，y＝1.2t. 答案：3.6　6　y＝1.2t(t≥3) 授课提示：对应学生用书第48页 题型一　利用函数的图象刻画实际问题 例1　输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，如图所示．开始输液时，滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x＝0时，h＝13.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则函数h＝f(x)的图象为(　　) [解析]　由题意知，瓶内药液的体积为156 π cm3，所以每分钟滴下π cm3药液．当4≤h≤13时，xπ＝π·42·(13－h)，即h＝13－，此时0≤x≤144；当1≤h＜4时，xπ＝π·42·9＋π·22(4－h)，即h＝40－，此时144＜x≤156.所以函数h＝f(x)单调递减，且144＜x≤156时，递减速度变快． [答案]　C 　1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案． 2．图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养． 　(多选)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)