第2章 第7节 第1课时 函数的零点与方程的根-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第七节　函数的应用 第一课时　函数的零点与方程的根 课程标准　1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系．　2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路． 授课提示：对应学生用书第45页 知识点一　函数的零点 1．函数零点的概念 使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点． 注意：零点不是点，是满足f(x)＝0的实数x. 2．三个等价关系 3．零点存在定理 知识点二　二分法的定义 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]．若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 1．(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有(　　) A．f(x)＝3x－1　　　　　 B．f(x)＝x2－2x＋1 C．f(x)＝log4x D．f(x)＝ex－2 解析：f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x＜1时，f(x)＞0；当x＞1时，f(x)＞0，在零点两侧附近函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中的函数在函数的零点两侧附近函数值异号． 答案：ACD 2．函数f(x)＝的所有零点构成的集合为(　　) A．{1} B．{－1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} 解析：当x≤0时，f(x)＝x＋1＝0⇒x＝－1，当x＞0时，f(x)＝log2x＝0⇒x＝1，所以函数f(x)的所有零点构成的集合为{－1,1}． 答案：C 3．(2023·宁德模拟)函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：f(－2)＝－5，f(－1)＝1，f(0)＝1，f(1)＝1，f(2)＝7.因为f(－2)·f(－1)＜0，f(－1)·f(0)＞0，f(0)·f(1)＞0，f(1)·f(2)＞0，所以函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是(－2，－1)． 答案：A 4．函数f(x)＝ex＋3x零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案：B 5．(易错题)已知函数g(x)＝3x2＋4x－a在区间(－1,1)上存在零点，则实数a的取值范围为________． 解析：函数f(x)在区间(－1,1)内存在零点， 等价为3x2＋4x－a＝0在区间(－1,1)上有解， 即a＝3x2＋4x， 设g(x)＝3x2＋4x，则g(x)＝32－， ∵x∈(－1,1)， ∴当x＝－时，g(x)取得最小值－， 当x＝1时，函数g(1)＝7. ∴当x∈(－1,1)时，－≤g(x)＜7， 即－≤a＜7， 故实数a的取值范围是. 答案： 6．(易错题)若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋1的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)之内，则实数m的取值范围为________． 解析：函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋1的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)之内， ∴即解得－＜m＜0. 答案： 授课提示：对应学生用书第45页 题型一　判断函数零点所在的区间 例1　(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是(　　) A.　　　　　　 B．(1，e－1) C．(e－1,2) D．(2，e) (2)方程2x＋2x－2＝0的根所在的区间为(　　) A. B. C. D. (3)设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)．若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________． [解析]　(1)因为函数f(x)＝ln(x＋1)－在(0，＋∞)上单调递增且连续． 又f(e－1)＝ln(e－1＋1)－＝1－＜0， f(2)＝ln(2＋1)－＝ln 3－1＞0， 即f(e－1)f(2)＜0， 所以函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是(e－1,2)． (2)设f(x)＝2x＋2x－2，可得f(x)是R上的增函数． 因为f(0)＝1－2＝－1＜0，f＝－1＞0， 所以f(0)·f＜0，所以f(x)的零点在上，即方程2x＋2x－2＝0的根所在的区间为. (3)设f(x)＝x3－x－2，则x0是函数f(x)的零点，在同一平面直角坐标系下作出函数y＝x3与y＝x－2的图象，如图所示． 因为f(1)＝1－－1＝－1＜0，f(2)＝8－0＝7＞0，所以f(1)f(2)＜0，所以x0∈(1,2)． [答案]　(1)C　(2)B　(3)(1,2) 　确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 1．利用函数的零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0，若有，则函数y＝f