第2章 第5节 对数运算与对数函数-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第五节　对数运算与对数函数 课程标准　1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．　2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．　3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数． 授课提示：对应学生用书第36页 知识点一　对数与对数运算 1．对数的概念 (1)定义：一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． (2)常用对数与自然对数 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算性质 (a>0，且a≠1，M>0，N>0，b∈R) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMb＝blogaM(n∈R)． (2)对数的重要公式 ①换底公式：logab＝(a＞0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1)； ②logab＝. 知识点二　对数函数及其性质 1．对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中a称为底数，x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 1．求值：2log510－log54＝(　　) A．1　　　　　　　 B．log516 C．2 D．log596 解析：2log510－log54＝log5100－log54＝log525＝2. 答案：C 2．若函数f(x)＝loga(x＋2)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点M，则点M的坐标为(　　) A．(－1,3) B．(－1,2) C．(－2,2) D．(－2,3) 解析：∵当x＝－1时，f(－1)＝loga(－1＋2)＋2＝2，与a的值无关，∴点M的坐标为(－1,2)． 答案：B 3．给出三个数a＝3，b＝3，c＝log3，则它们的大小顺序为(　　) A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解析：因为a＝3＞1,0＜b＝3＜1，c＝log3＜0，所以c＜b＜a. 答案：D 4．已知函数f(x)＝log2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是(　　) A．[0,2) B．(0，＋∞) C．(0,2) D．[0，＋∞) 解析：∵1＋2－x＞1，∴log2(1＋2－x)＞0，∴函数f(x)的值域是(0，＋∞)． 答案：B 5．(易错题)函数y＝log (－x2＋x＋6)的单调增区间为(　　) A. B. C．(－2,3) D. 解析：由－x2＋x＋6＞0，解得－2＜x＜3，故函数的定义域为(－2,3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝logt，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2,3)上的减区间． 利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的减区间为. 答案：A 6．(易错题)若函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域和值域均为[t,2t]，则a的值为(　　) A.或4 B.或 C.或8 D.或16 解析：由题意知t＞0，当a＞1时，得loga(2t)＝2logat，得2t＝t2，得t＝2，所以由loga2＝2，解得a＝；当0＜a＜1时，得2loga(2t)＝logat，得4t2＝t，得t＝，代入logat＝2t，解得a＝. 答案：B 授课提示：对应学生用书第37页 题型一　对数式的化简与求值 例1　(1)若lg x＝lg a＋2lg b－3lg c，则x＝(　　) A．a＋2b－3c　　　　　　　 B．a＋b2－c3 C. D. (2)计算(log32＋log23)2－－的值为(　　) A．log26 B．log36 C．2 D．1 (3)(多选)若10a＝4,10b＝25，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝2 B．b－a＝1 C．ab＞8(lg 2)2 D．b－a＞lg 6 [解析]　(1)∵lg x＝lg a＋2lg b－3lg c＝lg， ∴x＝. (2)原式＝(log32)2＋2log32×log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2. (3)由10a＝4,10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，则a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，b－a＝lg 25