第2章 第4节 指数运算与指数函数-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第四节　指数运算与指数函数 课程标准　1.通过对有理数指数幂、实数指数幂的含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．　3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 授课提示：对应学生用书第33页 知识点一　幂的运算 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根，其中n>1，且n∈N＋. (2)根式：式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数(n>1，且n∈N＋)． (3)根式的性质 ①()n＝a(a使有意义)． ②当n为奇数时， ＝a； 当n为偶数时， ＝|a|＝ 2．分数指数幂的意义 分数指数幂 正数的正分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)．若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝a＝ 正数的负分数指数幂 规定：＝(a＞0，m，n互素，n＞1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.无理数指数幂 一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，可以用类似的方法定义一个实数aα，规定a－α＝. 4．指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 知识点二　指数函数的定义、图象和性质 1．定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数． 2．图象和性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性 质 定义域为R，值域为(0，＋∞) 图象过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 在R上为增函数 在R上为减函数 1．(多选)下列运算正确的是(　　) A.＝π－3　　　 B．e2x＝(ex)2 C.＝a－b D.＝· 解析：对于A，因为＝|3－π|＝π－3，所以A正确； 对于B，因为e2x＝(ex)2，成立，所以B正确； 对于C，因为＝a－b，成立，所以C正确； 对于D，当a＜0且b＜0时，和无意义，所以D错误． 答案：ABC 2．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　　) A．2 B．－2 C．－2 D．2 解析：∵函数f(x)是指数函数，∴a－3＝1，∴a＝8. ∴f(x)＝8x，f＝8＝2. 答案：D 3．函数y＝a|x|(a＞1)的图象是(　　) 解析：法一：由题设知y＝ ∵a＞1，∴由指数函数的图象易知选项B符合题意． 法二：∵y＝a|x|是偶函数，且a＞1，∴a|x|≥1，排除A，C.又当x≥0时，y＝ax，由指数函数的图象知选B. 答案：B 4．函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是(　　) A．[0,1] B．[－1,0] C. D. 解析：由指数函数的性质可得f(x)＝2x是递增函数， 当x∈[0,1]时，f(0)≤f(x)≤f(1)，即1≤f(x)≤2， ∴－2≤－2x≤－1.∴函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域为[－1,0]． 答案：B 5．(易错题)若函数f(x)＝|x－2|，则f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：将原函数看成复合函数f(x)＝u，u＝|x－2|，f(x)是关于u的减函数，u在[2，＋∞)上为增函数，在(－∞，2]上为减函数，由复合函数的性质知，f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)． 答案：B 6．(易错题)已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1,1]上恒有f(x)＜2，则实数a的取值范围为________． 解析：当a＞1时，f(x)在[－1,1]上是增函数．因为函数f(x)在[－1,1]上恒有f(x)＜2，所以f(1)＜2，所以a＜2，所以1＜a＜2.当0＜a＜1时，f(x)在[－1,1]上是减函数．因为函数f(x)在[－1,1]上恒有f(x)＜2，所以f(－1)＜2，所以＜2，即a＞，所以＜a＜1. 综上所述，实数a的取值范围是∪(1,2)． 答案：∪(1,2) 授课提示：对应学生用书第34页 题型一　指数幂的运算 例1　(1)(2023·青岛模拟)化简 (m＜0)的结果为(　　) A．m　　　　　　　 B．m C．－m D．－m (2)若a＋b＝m，ab＝m (m＞0)，则a3＋b3＝(　　) A．0 B. C．－ D. (3)计算：(－9.6)0－＋1.5－2＝________； (4)化简 (a＞0，b＞0)的结果是________． [解析]　(1)∵m＜0