第2章 第2节 第2课时 函数的奇偶性与周期性、对称性-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第二课时　函数的奇偶性与周期性、对称性 课程标准　1.了解函数奇偶性的概念和几何意义．　2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．　3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 授课提示：对应学生用书第25页 知识点一　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 设函数f(x)的定义域为A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数 关于原点对称 偶函数 设函数f(x)的定义域为A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数 关于y轴对称 知识点二　函数的周期性 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，x∈D如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作y＝f(x)的最小正周期． 1．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|＋g(x)是偶函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数．根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，∴|f(x)·g(x)|为偶函数，故选项A、选项D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B正确． 答案：BC 2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数．当x＜0时，f(x)＝x3，则f(2)的值是(　　) A．8　　　　　　　　　 B．－8 C. D．－ 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2)＝f(－2)＝(－2)3＝－8. 答案：B 3．若函数f(x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 解析：∵f(x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，∴f(－x)＝f(x)对于任意x∈R都成立，∴f(－1)＝f(1)，即2－|a－3|＝2－|a＋3|，解得a＝0. 答案：D 4．(2023·兰州模拟)已知f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，那么当x＜0时，f(x)＝(　　) A．－x(1－x) B．x(1－x) C．－x(1＋x) D．x(1＋x) 解析：当x＜0时，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)． 答案：B 5．(易错题)已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，则f(x)＞f(x－1)的解集为________． 解析：∵f(x)为偶函数，f(x)在(－∞，0)上是增函数， ∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．∵f(x)＞f(x－1)， ∴|x|＜|x－1|，两边平方得x2＜x2－2x＋1，解得x＜. 答案： 6．(易错题)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________________. 解析：设x＜0，则－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函数的定义可知f(0)＝0，所以f(x)＝ 答案： 授课提示：对应学生用书第26页 题型一　函数奇偶性 角度(一)　函数奇偶性的判断 例1　(1)设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是(　　) A．|g(x)|是偶函数　　 B．f(x)g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是偶函数 D．f(x)＋g(x)是奇函数 (2)已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是________． [解析]　(1)f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)为偶函数． g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数． |g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确； f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)， 所以f(x)g(x)为奇函数，B正确； f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|， 所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确； f(x)＋g(x)＝2ex， f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f(x)＋g(x)]， 所以f(x)＋g(x)不是奇函数，D错误． (2)法一：当x＞0时，－x＜0，所以f(－x