第2章 第1节 函数的概念及其表示-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第一节　函数的概念及其表示 课程标准　1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．　2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的应用．　3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 授课提示：对应学生用书第18页 知识点一　函数的概念 1．函数的概念 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，集合A称为函数的定义域，x称为自变量；与x的值对应的y值称为函数值，集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域． 3．函数的三要素 定义域、值域和对应关系． 知识点二　函数的表示 　表示函数的常用方法 解析法、列表法和图象法． 知识点三　分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数． 1．(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝与g(x)＝x C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝x与g(x)＝ 解析：A中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；B中对应关系不同；C中两函数的定义域、对应关系相同，所以是同一个函数；D中对应关系不同． 答案：AC 2．如图所示，函数y＝|x＋1|的图象是(　　) 解析：因为x＝－1时，y＝0，所以排除A，C；又因为x＝－2时，y＝1＞0，所以排除D. 答案：B 3．(2023·石家庄模拟)函数g(x)＝的定义域为(　　) A．(－2,0)∪(0,1] B．[－2,0)∪(0,1] C．(－1,0)∪(0,1] D．[－1,0)∪(0,2] 解析：由题意得 即解得－2≤x≤1且x≠0，因此，函数y＝g(x)的定义域为[－2,0)∪(0,1]． 答案：B 4．(2023·长沙检测)已知函数f(x)＝则f＝(　　) A．－1　　　　　　　　　 B．2 C. D. 答案：D 授课提示：对应学生用书第19页 题型一　函数的定义域问题 例1　(1)函数f(x)＝＋ln(x＋1)的定义域是(　　) A．(2，＋∞)　　　　　 B．(－1,2)∪(2，＋∞) C．(－1,2) D．(－1,2] (2)已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．[0,1] B．(0,1) C．[0,1) D．(0,1] [解析]　(1)函数的定义域应满足解得－1＜x＜2，∴f(x)的定义域为(－1,2)． (2)由题意可知函数f(x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.又由g(x)满足1－x＞0且1－x≠1，解得x＜1，且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0,1)． [答案]　(1)C　(2)B 　1.根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． 2．求抽象函数的定义域的策略 若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出． 1．函数f(x)＝·lg的定义域是(　　) A．[1,2] B．[2，＋∞) C．[1,2) D．(1,2] 解析：根据函数f(x)的解析式，有解得1≤x＜2，所以函数f(x)的定义域为[1,2)． 答案：C 2．已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，求f＋f(x－1)的定义域． 解：由f(x)的定义域为[－1,1]， ∴ 解得0≤x≤2. 即f＋f(x－1)的定义域为[0,2]． 题型二　求函数的解析式 例2　(1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________； (2)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1，则f(x)＝________； (3)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________. [解析]　(1)法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝， 所以f(t)＝42－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)， 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． 法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9， 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． 法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)