第1章 第2节 常用逻辑用语-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第二节　常用逻辑用语 课程标准　 1．必要条件、充分条件、充要条件 (1)通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． (2)通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． (3)通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 2．全称量词与存在量词 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 3．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定． (2)能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 授课提示：对应学生用书第6页 知识点一　充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q不能推出p p是q的必要不充分条件 p不能推出q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p不能推出q且q不能推出p 知识点二　全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 “所有”“每一个”“任意”“任何”“一切” ∀ 存在量词 “有些”“有一个”“存在” ∃ 2.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 定义 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题 结构 ∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x具有性质p(x) 否定 ∃x∈M，x不具有性质p(x) ∀x∈M，x不具有性质p(x) 1．(多选)下列命题是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的有(　　) A．有一个x∈R，使得x2＞3成立 B．对有些x∈R，使得x2＞3成立 C．任选一个x∈R，都有x2＞3成立 D．至少有一个x∈R，使得x2＞3成立 解析：C选项是全称量词命题，A，B，D选项符合题意． 答案：ABD 2．已知条件p：x＞1，条件q：x≥2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：∵{x|x≥2}{x|x＞1}，∴p是q的必要不充分条件． 答案：B 3．命题“∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定是(　　) A．∀a∉R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根 B．∃a∉R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根 C．∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根 D．∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1≠0没有实根 解析：根据全称量词命题的否定形式可知，命题“∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定是“∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根”． 答案：C 4．(2023·天津模拟)命题p：x＜－1，则命题p的一个充分不必要条件为(　　) A．x＜－1　　　　　　　　 B．x＜2 C．－8＜x＜2 D．－10＜x＜－3 解析：由于－10＜x＜－3⇒x＜－1，反之不成立，所以命题p的一个充分不必要条件为－10＜x＜－3，其他选项均不符合． 答案：D 5．(易错题)若命题p：∀a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，则命题p的否定：________. 答案：∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解 授课提示：对应学生用书第7页 题型一　充分条件、必要条件及充要条件的判断 角度(一)　定义法判断充分、必要条件 例1　(1)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 (2)(2022·浙江卷)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (3)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　(1)当q＝1，a1<0时，等比数列{an}的前n项和Sn＝na1<0，可知{Sn}是单调递减数列，因此甲不是乙的充分条件； 若{Sn}是递增数列，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1>0，即a1qn－1>0恒成立，而只有当a1>0，q>0时，a1qn－1>0恒成立，所以可得q>0，因此甲是乙的必要条件．综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件． (2)根据sin x＝1解得x＝＋2kπ，k∈Z，此时cos x＝cos＝