3.3 幂函数(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

３. ３　 幂函数 学习目标 １. 了解幂函数的概念. ２. 结合幂函数 ｙ ＝ ｘꎬｙ ＝ ｘ２ꎬｙ ＝ ｘ３ꎬｙ ＝ １ｘ ꎬｙ ＝ ｘ １ ２ 的图象ꎬ掌握它们的性质. ３. 能利用幂函数的单调性比较幂的大小. 核心素养 １. 结合幂函数的图象ꎬ培养直观想象的核心素养. ２. 借助幂函数的性质ꎬ培养逻辑推理的核心素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 幂函数的概念 　 　 一般地ꎬ函数　 ｙ ＝ ｘα 　 叫做幂函数ꎬ其中 ｘ 是自变量ꎬα 是常数. 想一想:幂函数的解析式有什么特征? 　 　 练一练: １. 下列所给的函数中是幂函数的为 ( Ｃ ) Ａ. ｙ ＝ ２ｘ５ 　 　 　 　 　 Ｂ. ｙ ＝ ｘ３ ＋ １ Ｃ. ｙ ＝ ｘ －３ Ｄ. ｙ ＝ ３ｘ ２. 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ (ｍ２ － ３ｍ － ３)ｘ２ｍ －３是幂 函数ꎬ则 ｍ 的值为 ( Ｄ ) Ａ. ４ Ｂ. ３ Ｃ. － １ Ｄ. － １ 或 ４ 知识点 ２ 幂函数的图象及性质 　 　 (１)五个幂函数的图象 (２)幂函数的性质 幂函数 ｙ ＝ ｘ ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝ ｘ３ ｙ ＝ ｘ １ ２ ｙ ＝ ｘ － １ 定义域 Ｒ Ｒ Ｒ [０ꎬ ＋ ∞ ) ( － ∞ ꎬ０)∪ (０ꎬ ＋ ∞ ) 值域 Ｒ [０ꎬ ＋ ∞ ) Ｒ [０ꎬ ＋ ∞ ) {ｙ ｜ ｙ∈Ｒ 且 ｙ≠０} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增　 ｘ∈(０ꎬ ＋ ∞ ) 增ꎻ ｘ∈( －∞ ꎬ０) 减 增　 　 增　 ｘ∈(０ꎬ ＋ ∞ ) 减ꎻ ｘ∈( －∞ ꎬ０) 减 公共点 都经过点(１ꎬ１) 　 　 想一想:当 α > ０ 时ꎬ幂函数 ｙ ＝ ｘα 的图象在 第一象限内有什么共同特征? 　 　 练一练: １. 判断下列说法是否正确ꎬ正确的打“√”ꎬ 错误的打“ × ” . (１)函数 ｙ ＝ － ｘ２ 是幂函数. ( × ) (２)幂函数 ｙ ＝ ｘ２ 是偶函数. ( √ ) (３)幂函数 ｙ ＝ ｘ －１是增函数. ( × ) (４)幂函数都过点(０ꎬ０)ꎬ(１ꎬ１) . ( × ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 079 {#{QQABCYAEggAAABBAAQgCQwUACkEQkACCCAoGAAAIMAIBAQFABAA=}#} (５)幂函数的图象不过第四象限. ( √ ) (６)当 ０ < ｘ < １ 时ꎬｙ ＝ ｘ １ ２ 的图象在 ｙ ＝ ｘ２ 的 图象的下方. ( × ) ２. ３. １７ －１与 ３. ７１ －１的大小关系为　 ３. １７ －１ > ３. ７１ －１ 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 幂函数的概念 　 　 典例 １ 已 知 函 数 ｆ ( ｘ ) ＝ ( ｍ２ ＋ ２ｍ)ｘｍ ２ ＋ｍ －１ꎬｍ 为何值时ꎬｆ(ｘ)是:(１)正比例函 数ꎻ(２)反比例函数ꎻ(３)二次函数ꎻ(４)幂函数. [分析] 　 本题将正比例函数、反比例函数、 二次函数和幂函数放在一起考查ꎬ要注意区别 它们之间的不同点ꎬ根据各自定义:(１)正比例 函数 ｙ ＝ ｋｘ(ｋ≠０)ꎻ(２)反比例函数 ｙ ＝ ｋｘ ( ｋ≠ ０)ꎻ(３)二次函数 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ(ａ≠０)ꎻ(４)幂 函数 ｙ ＝ ｘα(α 是常数)ꎬ转化为系数和指数的取 值问题. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 形如 ｙ ＝ ｘα 的函数叫幂函 数ꎬ这里需有:(１)系数为 １ꎬ(２)指数为一常数ꎬ (３)后面不加任何项. 例如 ｙ ＝ ３ｘꎬｙ ＝ ｘｘ ＋１ꎬｙ ＝ ｘ２ ＋ １ 均不是幂函数. 对点练习❶ 有下列函数: ①ｙ ＝