3.1.1 函数的概念(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

第三章　 函数的概念与性质 ３. １　 函数的概念及其表示 ３. １. １　 函数的概念 第 １ 课时　 函数的概念(一) 学习目标 １. 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上ꎬ用集合语言和对应关系刻画函数ꎬ建立 完整的函数概念. ２. 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. ３. 了解构成函数的要素ꎬ能求简单函数的定义域. 核心素养 １. 通过对函数概念的理解ꎬ提升数学抽象素养. ２. 通过求简单函数的定义域ꎬ提升数学运算素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 函数的概念 定义 设 Ａ、Ｂ 是非空的 　 实数集 　 ꎬ如果对 于集合 Ａ 中的　 任意一个数 ｘ　 ꎬ按照 某种确定的对应关系 ｆꎬ在集合 Ｂ 中都 有 　 唯一确定　 的数 ｙ 和它对应ꎬ那 么就称 ｆ:Ａ→Ｂ 为从集合 Ａ 到集合 Ｂ 的一个函数ꎬ记作 ｙ ＝ ｆ(ｘ)ꎬｘ∈Ａ 三 要 素 对应关系 ｙ ＝ ｆ(ｘ)ꎬｘ∈Ａ 定义域 　 　 　 ｘ　 的取值集合 值域 与 ｘ 的值相对应的 ｙ 的值的集合 { ｆ(ｘ) ｜ ｘ∈Ａ} . 　 　 提醒:理解函数的概念应关注三点 (１)函数的定义中有“三性”:任意性、存在 性、唯一性ꎬ即对于非空数集 Ａ 中的任意一个 (任意性)数 ｘꎬ在非空数集 Ｂ 中都有(存在性) 唯一(唯一性)的数 ｙ 与之对应ꎬ这三性只要有 一个不满足便不能构成函数. (２)ｙ ＝ ｆ(ｘ)仅是函数的一个符号ꎬ不表示 “ｙ 等于 ｆ 与 ｘ 的乘积”ꎬｆ(ｘ)也未必有解析式. (３)除 ｆ(ｘ)外ꎬ还常用 ｇ(ｘ)ꎬＦ(ｘ)ꎬＧ(ｘ)等 来表示函数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 054 {#{QQABCYAEggCIAAJAAQhCQwEwCEIQkACCAIoGgAAAMAIBgQFABAA=}#} 　 　 想一想:ｆ(ｘ)与 ｆ(ａ)有何区别与联系? 　 　 练一练: １. 判断下列说法是否正确ꎬ正确的打“√”ꎬ 错误的打“ × ” . (１)函数的定义域和值域一定是无限集合. ( × ) (２)根据函数的定义ꎬ定义域中的任何一个 ｘ 可以对应着值域中不同的 ｙ. ( × ) (３)在函数的定义中ꎬ集合 Ｂ 是函数的值 域. ( × ) ２. 下表表示 ｙ 是 ｘ 的函数ꎬ则函数的值域是 ( Ｄ ) ｘ ｘ < ２ ２≤ｘ≤３ ｘ > ３ ｙ － １ ０ １ 　 　 Ａ. {ｙ ｜ － １≤ｙ≤１}　 　 Ｂ. Ｒ Ｃ. {ｙ ｜２≤ｙ≤３} Ｄ. { － １ꎬ０ꎬ１} ３. 函数 ｆ(ｘ) ＝ １ ４ － ｘ 的定义域是　 {ｘ ｜ ｘ < ４}　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 函数概念的理解 　 　 典例 １ (１)下列对应或关系式中是 Ａ 到 Ｂ 的函数的是 ( Ｂ ) Ａ. Ａ∈ＲꎬＢ∈Ｒꎬｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １ Ｂ. Ａ ＝ {１ꎬ２ꎬ３ꎬ４}ꎬＢ ＝ {０ꎬ１}ꎬ对应关系 如图: Ｃ. Ａ ＝ ＲꎬＢ ＝ Ｒꎬｆ:ｘ→ｙ ＝ １ｘ － ２ Ｄ. Ａ ＝ ＺꎬＢ ＝ Ｚꎬｆ:ｘ→ｙ ＝ ２ｘ － １ (２)设 Ｍ ＝ {ｘ ｜ － ２≤ｘ≤２}ꎬＮ ＝ {ｙ ｜ ０≤ｙ≤ ２}ꎬ函数ｙ ＝ ｆ(ｘ)的定义域为 Ｍꎬ值域为 Ｎꎬ对于 下列四个图象ꎬ不可作为函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ)的图象 的是 ( Ｃ ) [分析] 　 (１)如何利用函数定义. 对于集 合 Ａ 中的元素通过对应关系在集合 Ｂ 中有唯一 元素与之对应进行判断. (２)当对应关系用图象表示时ꎬ怎样判断是 否为函数关系. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 判断一个对应关系是否是函 数的方法 　 　 对点