8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

8．4　直线与圆、圆与圆的位置关系 课程标准 1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．　2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．　 授课提示：对应学生用书第194页 知识点一　直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由 消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d＜r Δ＞0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d＞r Δ＜0 知识点二　圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 1.与圆的切线有关的结论 (1)与圆x2＋y2＝r2相切于点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切于点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．两相交圆的公共弦所在直线的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0　①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0　②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0　③，方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． 3．两个圆系方程 (1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)． (2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防漏解)． [对点自测] 1．(知识点一)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案：C 2．(知识点二)直线x＋y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交于A，B两点，则弦|AB|＝(　　) A.　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 答案：D 3．(知识点二)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案：D 4．(知识点二)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________. 答案：1 授课提示：对应学生用书第195页 　　多维探究 [例1]　(1)(多选)(2023·广州市一测)已知直线l：x＋y－＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4，则(　　) A．直线l与圆C相离 B．直线l与圆C相交 C．圆C上到直线l的距离为1的点共有2个 D．圆C上到直线l的距离为1的点共有3个 [解析]　圆C的圆心为C(1，－1)，半径r＝2，则圆心C(1，－1)到直线l：x＋y－＝0的距离d＝＝1<2，所以直线l和圆C相交，即选项 A错误，选项B正确． 到直线l的距离为1的点的轨迹是与直线l平行且与直线l的距离为1的两条平行直线．(将圆上到直线l的距离为1的点的个数转化为这两条平行直线与圆的交点的个数) 设这两条平行直线分别为l1，l2，如图所示． 因为圆心C到直线l的距离为1，所以圆心C到l1，l2的距离分别为1＋1＝2＝r,1－1＝0<r，所以l1与圆C相切，l2与圆C相交，所以圆C上有三个点到直线l的距离为1. [答案]　BD (2)(2023·湖北九师联盟3月质检)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：x2＋y2＝9，P(x1，y1)在圆C1上，Q(x2，y2)在圆C2上，则下列说法错误的是(　　) A．|PQ|的取值范围是[2,4] B．直线x1x＋y1y＝1是圆C1在P点处的切线 C．直线x1x＋y1y＝9与圆C2相交 D．直线x2x＋y2y＝1与圆x2＋y2＝相切 [解析]　因为圆C1，C2的圆心均为(0,0)，半径分别为1,3，所以2≤|PQ|≤4，故A正确；若x1y1≠0，则直线OP的斜率为，则过点P的切线