8.3 圆的方程-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

8．3　圆的方程 课程标准 1．掌握圆的标准方程与一般方程，会根据已知条件求圆的方程．　2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题．　 授课提示：对应学生用书第191页 知识点一　圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 知识点二　点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： 设d为点M(x0，y0)与圆心(a，b)的距离． (1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内． 1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上． 3．圆心在任一弦的垂直平分线上． [对点自测] 1．(知识点一)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 答案：D 2．(知识点一)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 答案：C 3．(知识点二)已知点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的外部(不含边界)，则实数a的取值范围为(　　) A．a<1 B．a>1 C．0<a<1 D．a> 答案：B 授课提示：对应学生用书第191页 　　互动探究 [例]　(1)(多选)(2023·济南市学情检测)在平面直角坐标系内，已知A(－1,0)，B(1,0)，C是平面内一动点，则下列条件中使得点C的轨迹为圆的有(　　) A．||＝||　　　　　 B．||＝2|| C.·＝0 D.·＝2 [解析]　设点C(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)， 对于A，由||＝||，得＝，整理，得x＝0，则点C的轨迹为一条直线，所以A不符合题意；对于B，由||＝2||，知||2＝4||2，则(x＋1)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理，得2＋y2＝，则点C的轨迹为一个圆，所以B符合题意；对于C，由·＝0，知(x＋1)(x－1)＋y2＝0，整理，得x2＋y2＝1，则点C的轨迹为一个圆，所以C符合题意；对于D，由·＝2，知(x＋1)(x－1)＋y2＝2，整理，得x2＋y2＝3，则点C的轨迹为一个圆，所以D符合题意． [答案]　BCD (2)(2023·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(　　) A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 [解析]　到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0， 联立 解得 又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1. [答案]　C (3)已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________． [解析]　法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得 解得 故所求圆的方程为 (x＋1)2＋(y＋2)2＝10， 即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0. 法二：线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0， 联立 得交点坐标O(－1，－2)． 又点O到点A的距离d＝， 所以圆的方程为 (x＋1)2＋(y＋2)2＝10， 即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0. [答案]　x2＋y2＋2x＋4y－5＝0 技法点拨 求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，根据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．　 链接高考 (2022·全国乙卷)过四点(