5.1 任意角和弧度制、三角函数的概念-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制、三角函数的概念 课程标准 1．了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．　2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．　 授课提示：对应学生用书第95页 知识点一　角的概念 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)按旋转方向不同分为正角、负角、零角． (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (4)相反角 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (5)按角的终边位置分 知识点二　弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad； ②1 rad＝° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点三　任意角的三角函数 三角函数 正　弦 余　弦 正　切 定　义 设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 一 ＋ ＋ ＋ 二 ＋ － － 三 － － ＋ 四 － ＋ － 1．象限角的集合 2．若α∈，则tan α>α>sin α.　 3.任意角的三角函数的定义(推广)： 设P(x，y)是角α的终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． [对点自测] 1．(知识点一、二)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 答案：C 2．(知识点二)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　) A．10π　　　　　　　 B．9π C.π D.π 答案：D 3．(知识点三)已知角α的终边与单位圆交于点，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：D 4．(知识点三)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________. 答案： 授课提示：对应学生用书第96页 　　自主探究 1．(多选)下列命题正确的是(　　) A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z} B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z} C．第三象限角的集合为 D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315° 解析：B项，终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故错误．C项，第三象限角的集合为，故错误． 答案：AD 2．集合中角表示的范围(阴影部分)是(　　) 解析：当k为偶数时，终边在第一象限与终边相同， 当k为奇数时，终边在第三象限与终边相同． 答案：C 3．已知角α的终边在第二象限，则角的终边在第________象限． 解析：因为角α的终边在第二象限，所以＋k·2π<α<π＋k·2π，k∈Z， 所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z. 当k＝2m(m∈Z)时，＋m·2π<<＋m·2π，m∈Z， 此时角的终边在第一象限； 当k＝2m＋1(m∈Z)时，＋m·2π<<＋m·2π，m∈Z，此时角的终边在第三象限． 综上，角的终边在第一或三象限． 答案：一或三 技法点拨 1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．　 2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置． 　　互动探究 [例1]　(1)(2023·广东梅州期末)2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，在11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，11月29日20时23分，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道．若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1 738千米，则嫦娥五号绕月每旋转 rad，飞过的长度约为(π≈3.14)(　　) A．1 069千米 B．6 713.32千米 C．628千米 D．3 356.66千米 [解析]　由弧长公式，得l＝(400＋1 738)