4.1 平面向量的概念及线性运算-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

第四章 平面向量与复数 4.1 平面向量的概念及线性运算 课程标准 1．了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．　2.理解平面向量的几何表示和基本要素．　3.掌握平面向量加、减、数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．　 授课提示：对应学生用书第80页 知识点一　向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 知识点二　向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法a＋b 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法a－b 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘λa |λa|＝|λ||a|. 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点三　共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合． 3．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 4．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)． 5．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 6．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 7．奔驰定理：如图，O是△ABC内一点，有S△BOC·＋S△AOB·＋S△AOC·＝0. 　 [对点自测] 1．(知识点一)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有真命题的序号是(　　) A．①　　　　　　　 B．③ C．①③ D．①② 答案：A 2．(知识点二)下列各式化简结果正确的是(　　) A.＋＝ B.＋＋＋＝ C.＋－＝0 D.－－＝ 答案：B 3．(知识点一)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．若a与b都是单位向量，则a∥b B．平面直角坐标系中的x轴、y轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 D．海拔、温度、角度都不是向量 答案：CD 4．(知识点三)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________. 答案： 授课提示：对应学生用书第81页 　　自主探究 1．(多选)给出下列说法，其中不正确的有(　　) A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形 C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b D．已知λ，μ为实数．若λa＝μb，则a与b共线 解析：A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．B正确，因为＝，所以||＝||且AB∥DC.又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线． 答案：ACD 2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　　) A．a＝2b　　　　　　　 B．a∥b C．a＝－b D．a⊥b 解析：由a，b都是非零向量及＋＝0，得＝－≠0，即a＝－·|a|≠0，则a与b方向相反，因此当向量a与向量b方向相反时，能使＋＝0成立．对照各个选项可知，选项A中a与b的方向相同，选项B中a与b方向相同或相反，选项C中a与b的方向相反，选项D中a与b互相垂直． 答案：C 3．(2023·南阳市月考)设O是正方形ABCD的中心，，，，是(　　) A．平行向量 B．有相同终点的向量 C．相等向量 D．模相等的向量 答案：D 技法点拨 平行向量有关概念的四个关注点