2023年人教版九年级数学下学期中考总复习专题——二次函数的综合运用

人教版数学中考总复习 二次函数的综合运用 教学目标：能用二次函数的知识解决函数类综合问题。 教学重点：让学生熟悉并体会二次函数综合题的解题方式。 教学关键：正确区分相应函数解析式及相关性质，并能灵活运用。 教学过程设计： 1、 本节课标要求 能运用二次函数的相关知识解决综合性的数学问题是本课的课标要求。 而二次函数的综合应用往往包括反比例函数、一次函数，问题涉及到待定系数法求函数解析式、函数交点问题、图像与坐标轴的交点坐标、三角形（或四边形）的面积与某个变量的函数关系的相关计算等等，解决这类问题的必备知识就是学生能够正确区分相应函数的解析式及相关性质的灵活运用。 2、 问题情境创设 问题：（2019•河北26题）如图15，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x–b与y轴交于点B；抛物线L：y＝–x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D。 （1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标； （2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值； （3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间距离； （4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和2019.5时“美点”的个数。 设计意图：二次函数的综合大题是历年中考必考的一类题型，这类题涉及的知识面比较广，意识联系比较多，是学生在中考中最容易失分的一题，本环节设置这道中考真题，目的通过对中考真题的分析，试图让学生的审题能力有所增强、有所突破！ 二、学生自主探究 学生可能的答案： 解：(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b， ∴B(0，－b) ∵AB＝8，A(0，b)， ∴b－(－b)＝8 ∴b＝4 ∴L的解析式为y＝－x2＋4x ∴L的对称轴为直线x＝2 当x＝2时，y＝x－4＝－2. ∴L的对称轴与a的交点为(2，－2)； (2)∵y＝－(x－)2+， ∴L的顶点C的坐标为(，) ∵点C在l下方， ∴C与l的距离为b－=－(b－2)2＋1≤1 ∵b>0， ∴点C与l距离的最大值为1； (3)由题意得y3＝，即y1＋y2＝2y3，得b＋x0－b＝2(－x02＋bx0)， 解得x0＝0或x0＝b－， ∵x0≠0，∴x0＝b－ 对于L，当y＝0时，0＝－x2＋bx，即0＝－x(x－b)， 解得x1＝0，x2＝b ∵b＞0， ∴右交点D的坐标为(b，0) ∴点(x0，0)与点D间的距离为b－(b－)=； （4）4040；1010 3、 师生共同辨析 辨析1、题目本身所直接体现的知识意识联系点： （1）b>0直线y=b与y轴的交点A（0，b）； （2）直线a：y＝x–b直线a与x轴交于D(b，0)，与y轴交于B（0，-b），同时与（1）联系，则可以看出A、B关于原点对称； （3）抛物线L：y＝–x2+bx抛物线与y轴交于原点，顶点C（，）， 在审题过程中，对于老师来说，这些显而易见的结论，学生却不能够在第一时间获得，因此在很大程度上会造成他们解题上的思维障碍，这是需要教师在审题教学中要引导给学生的。 辨析2、除了题目本身最直白的知识的意识联系之外，题目在学生解题的过程中也预设了一些意识联系点： （1） 若AB=8，求b，这是第1问的问题，由于我们在审题中已确认A、B关于原点对称，则据AB=8立刻会求出b=4，而b确定了，则抛物线的对称轴直线x=自然而然就得出来了，它与直线a的交点，即当x=2时，y=2-4=-2，则坐标（2，-2）显而易得； （2） 第2问是求点C与l的距离的最大值，对于最值问题，我们立即要想到在几何中如何求最值，在代数中如何求最值（学生可能严重缺乏这方面的意识），只有这样，我们做题才能高效，本题中的最值是二函求最值的问题，题目求“距离”的最大值，那我们就先将“距离”这个函数表示出来，于是距离=b－=－(b－2)2＋1≤1，很明显，当b=2时，距离有最大值1。 （3） 第3问的突破在于：y3是y1，y2的平均数，即y3＝，因此方程建立，问题可证； （4） “美点”只是一个美丽的帽子，而b=2019时，抛物线L与直线a均已确定，求其边界上的“美点”个数就变成了数“个数”这个简单问题了。 【解法提示】 （1）当b＝2019时，直线a的解析式为y＝x－2019，抛物线L的解析式为y＝－x2＋2019x，联立可得，解得：， ∴直线a和抛物线L的交点坐标为(－1，－2020)，(2019，0)。 ∴美点的个数为2021＋2019＝4040个； （2）当b＝2019.5时，直线a的解析式为y＝x－2019.5，抛物线L的解析式为y＝－x2＋2019.5x，联立可得 ，解得： ∴直线a和抛物线L的交点