第四章８ 图形的位似-【良师教案】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（北师大版）

(１)求证:△APE∽△ADQ; 第３题 (２)设AP 的长为x,试求△PEF 的面积S△PEF 关于x 的函数关系式,并求当P 在何处时,S△PEF 取得最大值,最 大值为多少? (３)当Q 在何处时,△ADQ 的周长最小? (给出确定 Q 在何处的过程或方法,不必给出证明) 【答案】　(１)证∠APE＝∠ADQ,∠AEP＝∠AQD 即可; (２)注 意 到 △APE ∽ △ADQ,△PDF ∽ △ADQ,及 S△PEF ＝ １ ２S平行四边形PEQF ,得S△PEF＝－ １ ３ x－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ３ ４．　 ∴当x＝ ３ ２ ,即P 是AD 的中点时,S△PEF取得最大值,最大值是 ３ ４ ; (３)作点A 关于直线BC 的对称点A′,连接DA′交BC 于点Q,则点Q 就是 使△ADQ 的周长最小的点,此时Q 是BC 的中点． 本节课主要是通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相 似比的平方来让学生体验化归思想,并让学生学会应用相似三角形周长的比等 于相似比、面积的比等于相似比的平方来解决简单的问题．因此本课的教学设计 突出了“相似比⇒相似三角形周长的比⇒相似多边形周长的比”,“相似比⇒相似 三角形面积的比⇒相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程,让学生 深刻体验到有限数学归纳法的魅力． ８　图形的位似 第１课时　图形的位似（１） １．了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位似图 形的性质． ２．掌握位似图形的画法,能够利用位似将一个图形放大或缩小． ３．经历位似图形的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力． ４．培养学生动手操作的能力,体验学习的乐趣． 重点 位似图形的有关概念、性质与作图． １９１ 　第四章　图形的相似 {#{QQABJYYEggggAABAAAgCUwVSCAKQkACAACoOwAAMsAABAQFABAA=}#} 难点 利用位似将一个图形放大或缩小． 多媒体、用画图软件演示有关图形、直尺、三角板等． 观察、验证、推理和交流． 一、问题引入 １．生活中我们经常把照片放大或缩小,由于没有改变图形的形状,因此我们 得到的照片是真实的． 　　 　　 ２．问:如图,多边形ABCDE,把它放大为原来的２倍,即 新图与原图的相似比为２,应该怎样做? 你能说出画相似图 形的一种方法吗? 二、新课教授 活动１:观察下图,图中有相似多边形吗? 如果有,那么 这种相似有什么共同的特征? 　　　 　　　 师生活动: 教师提出问题． 学生通过观察发现有一类相似的图形,除具备相似的所有性质外,还有其他 特性,学生自己归纳出位似图形的概念,即如果两个图形不仅是相似图形,而且 每组对应点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似 图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比．每对位似对应点与位 似中心共线(位似中心可在形上、形外、形内);不经过位似中心的对应线段平行． 利用位似可以将一个图形放大或缩小． 活动２:把图中的四边形ABCD 缩小到原来的 １ ２． 师生活动: 教师提出问题,注意引导学生能够用不同的方法画出所 要作的图形,通过作图让学生理解符合要求的图形不唯一,这 和所作的图形与所确定的位似中心的位置有关(如位似中心O 可能选在四边形 ２９１ {#{QQABJYYEggggAABAAAgCUwVSCAKQkACAACoOwAAMsAABAQFABAA=}#} ABCD 外,可能选在四边形ABCD 内,也可能选在四边形ABCD 的一条边上, 还可能选在四边形ABCD 的一个顶点上),并且同一个位似中心的两侧各有一 个符合要求的图形,因此,位似中心的确定是关键． 学生积极思考如何作图,并动手作图,遇到问题及时询问． 分析:把图形缩小到原来的１ ２ ,也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离 与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为１∶２． 作法一: (１)在四边形ABCD 外任取一点O; (２)过点O 分别作射线OA、OB、OC、OD; (３)分别在射线OA、OB、OC、OD 上取点A′、B′、C′、D′,使得 OA′ OA ＝ OB′ OB ＝ OC′ OC ＝ OD′ OD ＝ １ ２ ; (４)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′,所得四边形A′B′C′D′就是所要求作 的图形,如图． 问:此题还可以有其他作法吗? 作法二: (１)在四边形ABCD 外任取一点O; (２)过点O 分别作射线OA、OB、OC、OD; (３)分别在射线OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′,使得 OA′ OA ＝ OB′ OB ＝ OC′ OC＝ OD′ OD ＝ １ ２ ; (４)顺次连接A′B′、B′C′、