第四章６ 利用相似三角形测高-【良师教案】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（北师大版）

６　利用相似三角形测高 １．进一步巩固相似三角形的知识;能够运用三角形相似的知识解决一些物 体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)的测量等实 际问题． ２．通过把一些实际问题转化成与相似三角形有关的数学问题,从而帮助学 生进一步熟悉数学转化的思想,培养学生分析问题、解决问题的能力． ３．体会数学在生活中的作用,增强学习数学的兴趣,树立学好数学的信心． 重点 运用三角形相似的知识获得不能直接测量的物体的长度和高度． 难点 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题,即如何把实际问题转化为数学 问题． 三角板、量角器、直尺、多媒体课件等． 引导、探索法． 一、问题引入 问:世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家,叫什么金字塔? 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之 一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,每边长约２３０多米．据 考证,为建成大金字塔,共动用了１０万人花了２０年时间．该塔原高１４６．５９米,由 于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低． 在古希腊,有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天,希腊国王阿马西斯对他说: “听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时的条件 下是个大难题,因为人很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎么测量出大金字塔的 高度的吗? 二、新课教授 【例１】　(测量金字塔高度的问题)根据史料记载,古希腊数学家、天文学家 泰勒斯利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线 构成两个相似三角形来测量金字塔的高度． ７７１ 　第四章　图形的相似 {#{QQABLYaEggigAhBAAAgCUwViCgKQkBEAAAoOBBAEoAABAAFABAA=}#} 如图,木杆EF 长２m,它的影长FD 为３m,测得OA 为２０１m,求金字塔 的高度． 分析:根据太阳光的光线是互相平行的特点,可知在同一时刻的阳光下,竖 直的两个物体的影子互相平行,从而构造相似三角形,再利用相似三角形的判定 定理和性质,结合已知条件求出金字塔的高度． 解法一:∵BA∥DE, ∴∠BAO＝∠EDF． 又∵∠AOB＝∠DFE＝９０°, ∴△ABO∽△DEF, ∴ BO EF＝ AO FD , ∴BO＝ AO􀅰EF DF ＝ ２０１×２ ３ ＝１３４． 答:此金字塔的高度为１３４m． 问:你还可以用什么方法来测量金字塔的高度? (如用身高等) 解法二:用镜面反射．(如图,点A 是个小镜子,根据光的反射定律,由入射角 等于反射角构造两个相似三角形,解法略) 【例２】　(测量河宽的问题)如图,为了估算河的宽度,我们可在河对岸选定 一个目标点P,在近岸处取点Q 和S,使点P、Q、S 共线且直线PS 与岸垂直,接 着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T,确定PT 与过点Q 且垂 直于PS 的直线b交于点R,测得QS＝４５m,ST＝９０m,QR＝６０m．求河的宽 度PQ． 分析:设河宽PQ 长为x m,由于此种测量方法构造了三角形中的平行截 线,故可得到相似三角形,因此有PQ PS＝ QR ST ,即 x x＋４５＝ ６０ ９０． 再解x 的方程可求出 ８７１ {#{QQABLYaEggigAhBAAAgCUwViCgKQkBEAAAoOBBAEoAABAAFABAA=}#} 河宽． 解法一:∵∠PQR＝∠PST＝９０°,∠P＝∠P, ∴△PQR∽△PST, ∴ PQ PS＝ QR ST , 即 PQ PQ＋QS＝ QR ST ,即 PQ PQ＋４５＝ ６０ ９０ , ∴PQ×９０＝ PQ＋４５( ) ×６０, 解得PQ＝９０, 因此河的宽度PQ 为９０m． 问:你还可以用什么方法来测量河的宽度? 解法二:如图,构造相似三角形．(解法略) 【例３】　(盲区问题)如图,左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝８m 和 CD＝１２m,两树根部的距离BD＝５m．一个身高１．６m 的人沿着正对这两棵树 的一条水平直线l从左向右前进,当他与左边较低的树的距离小于多少时,就不 能看到右边较高的树的顶端点C? 分析:如图②,AB⊥l,CD ⊥l⇒AB∥CD,△AFH ∽△CFK,则 FH FK ＝ AH CK ,即 FH FH＋５＝ ８－１．６ １２－１．６＝ ６．４ １０．４ ,解得FH＝８． 解:如图所示,假设观察者从左向右走到点E 时,他的眼睛与两棵树的顶端 A、C 恰好在一条直线上． 由题意可知,AB⊥l,CD⊥l, ∴AB∥CD,△AFH∽△CFK, ∴ FH FK ＝ AH CK , 即 FH FK＋５＝ ８－１．６ １２－１．６＝ ６．４ １０．４ , 解得FH＝８． 由此可知,如果观察者继续前进,即他与左边的树的距离小于８m 时