解三角形面积与周长的最值（范围）问题课件-2023届高三数学一轮复习

解三角形面积与周长的最值（范围）问题 思 维 导 图 三角形中的最值或者范围问题，是高中数学的重要内容，也是高考的热点之一.三角形的最值或范围问题，一般转化为条件最值或范围问题：先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角的关系，再利用均值不等式或三角函数的有界性去求最值. 方法小结： 1、正弦定理+三角函数有界性 2、余弦定理+基本不等式 变式：将最值改为范围 变式：改为锐角三角形 1. +A型 典例分析 方法小结： 1、等腰（特殊位置） 2、余弦定理+均值不等式 2. b、c夹A型 3. b=λc比值型 方法小结： 1、余弦定理+二次函数 2、阿氏圆 方法小结： 1、正弦定理+正切函数 2、图解 4. +B非对边型 考场练兵 考场练兵 两个定理 一个思想 三种方法 数形结合 正弦定理 余弦定理 余弦定理+不等式 正弦定理+函数 图解法 课堂小结 解三角形 课后作业 导学案：必做+选做 谢谢大家！ $$+A a 型 例1：在DABC中，角A、B、C所对应的边 分别为a、b、c,且a=2,A=卫， 3 I)求DABC周长的最大值 a =2R sinA 2)求DABC面积的最大值 3)求BC的高的最大值 三角形面积周长最值问题探究 一、热身运动 2.在锐角中，角的对边分别为已知． 求角； 二、典例分析 方法小结： 1、正弦定理+三角函数有界性 2、余弦定理+基本不等式 3、余弦定理+三角换元 变式1：将最值改为范围 变式2：将题目改为锐角三角形 变式3：求b2+c2的范围？ 方法3：图解法 题型1：a+A型 步骤：选定理 定方法 取最值 看范围 方法小结： 1、等腰（特殊位置） 2、余弦定理+均值不等式 题型2： b、c夹A型 方法小结： 1、余弦定理+二次函数 2、阿氏圆 题型3. b=λc比值型 阿氏圆方程？ 题型4.+B非对边型 方法小结： 1、正弦定理+正切函数 2、图解 三、考场练兵 4种方法 2种方法 4、 课后作业 1．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，． (1)求角A的大小； (2)求 . 在①△ABC面积的最大值；②△ABC周长的最大值；③△ABC的内切圆的半径最大值. 中任选一个做为问题（2），并给出问题的解答． (1) 因为，由正弦定理得：，化简得：，所以 ∵ ∴ (2) 选①△ABC面积的最大值； ∵， ∴ 整理得： 由基本不等式得：，当且仅当时等号成立. 即，解得： 所以，即△ABC面积的最大值为 选②△ABC周长的最大值； ∵， ∴ 整理得：，即 由由基本不等式得：，当且仅当时等号成立. 所以 解得：，又因为，则 所以△ABC周长的最大值为 选③△ABC的内切圆的半径最大值； 设△ABC的内切圆半径为r，则 则 令，且 所以（当且仅当时取“=”） 所以△ABC的内切圆的半径最大值为 2．（2022·四川雅安·模拟预测（文））记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若△ABC的面积为，求△ABC周长l的最小值． 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 即，则有， 由于，所以． （2）由题，，则． 又由（1）知， 则周长， 当且仅当取“”，同时解得， 所以，周长l的最小值为12． 3. （2021年豫皖名校联盟12）在△ABC中，AB=3，AC=2BC，△ABC面积的取值范围（ C 阿氏圆） A.(0,2] B.[1,3] C.(0,3] D.(0,6] 4. （2022·山西运城·模拟预测（理））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC面积的取值范围. (1) 解：由，即，所以. 又，所以，所以. (2) 解：由题设及（1）知的面积. 由正弦定理得. 由于为锐角三角形，故，， 由（1）知， 所以，所以，所以，，所以，即，从而， 因此，面积的取值范围是. 选做： 1．（2022·宁夏中卫·一模（文））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，其中，，则S的最大值为______． 【答案】 【详解】由余弦定理知：，而， 所以，而，即，当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立. 故答案为： 2.（2022·宁夏·平罗中学三模（文））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则△ABC面积的最大值是___________. 【详解】由正弦定理及，得， 又，，所以，所以为锐角， 代入，所以，， 由余弦定理，整理得， 所以，即，当且仅当时等号成立.