第一章 2.1 第2课时 充要条件-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

第2课时　充要条件 [学习目标]　1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．2.能够判定条件的充分、必要、充要性．并会进行简单的充要条件的证明． 知识点一　充要条件 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题是真命题？那么条件和结论互换后，命题的真假又是怎样的呢？你能用充分条件与必要条件的知识解释它们之间的关系吗？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集． 提示：上述命题中的命题(1)(4)是真命题，条件和结论互换后仍是真命题；命题(2)是真命题，但条件和结论互换后是假命题；命题(3)是假命题，但条件和结论互换后是真命题． 充要条件 1．一般地，如果p⇒q且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． 2．如果p⇒q且q⇒/ p，则称p是q的充分不必要条件． 3．如果p⇒/ q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 4．如果p⇒/ q且q⇒/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件． [微提醒]　(1)判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)存在p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，例：p：x＞0，q：|x|＞1. [记结论]　充要条件与集合的关系 A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}． A＝B p是q的充要条件 AB p是q的充分不必要条件 BA p是q的必要不充分条件 判断下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3； (2)p：△ABC中，AB＞AC，q：△ABC中，∠C＞∠B； (3)p：A⊆B，q：A∪B＝B； (4)p：x＝1，q：(x－1)2＝0. 解析：(1)因为当|x|＝|y|时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有|x|＝|y|， 所以p是q的必要不充分条件． (2)由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是q的充要条件． (3)若A⊆B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A⊆B，故p是q的充要条件． (4)将x＝1代入方程(x－1)2＝0中，显然方程成立；解方程(x－1)2＝0，可得x＝1；故p是q的充要条件． 　　方法技巧 充要条件的判断方法 1．定义法：若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件． 2．集合法：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p是q的充要条件． 学生用书第19页 即时练1.(2023·河北保定期末)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[当三角形两边上的高相等时，由三角形面积公式可得这两边也相等，所以这个三角形为等腰三角形，当三角形为等腰三角形时，同样由三角形的面积公式可知，两腰上的高相等，所以三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的充要条件，故选C.] 即时练2.(多选)(2023·河南焦作期末)给出的下列选项，其中错误的是(　　) A．圆O内两条弦相等是圆O内两条弦所对的圆周角相等的充要条件 B．四边形为正方形是四边形的对角线互相垂直且平分的充要条件 C．x，y为无理数是xy为无理数的充分条件 D．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件 ABC　[对于A，同弦所对圆周角互补或相等，所以圆O内两条弦相等他们所对的圆周角相等或互补，故错误； 对于B，若四边形的对角线互相垂直且平分，则四边形是菱形，不一定是正方形，故错误； 对于C，若x＝，y＝，则xy＝2是有理数，故错误； 对于D，若x＝2，y＝，则xy＝2是无理数；若xy＝2为有理数，则当x＝，y＝时为无理数，所以x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件，故正确．故选ABC.] 知识点二　充要条件的应用与证明 命题p：在△ABC中一边的平方等于其他两边的平方和； 命题q: △ABC为直角三角形． 你能说出命题p是命题q的什么条件吗？反之，命题q是命题p的什么条件呢？ 提示：命题p是命题q的充要条件；命题q是命题p的充要条件． 　p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”．当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． [微提醒]　在判断充要条件时要分清条件与结论． 设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是