第一章 2.1 第1课时 必要条件与性质定理、充分条件与判定定理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与性质定理、充分条件与判定定理 [学习目标]　1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．3.会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件． 知识点一　必要条件与性质定理 请同学们仔细观察下列定理，说明条件和结论具有怎样的逻辑关系． 定理1：菱形的对角线互相垂直； 定理2：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 定理3：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等． 提示：在上述的定理中，每个定理的条件都能推出结论，但有结论不一定能得到条件． 必要条件：一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的． [微提醒]　数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 在下列各命题中，q是p的必要条件吗？为什么？ (1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； (3)p：m＜－2；q：方程x2－x－m＝0无实根． 解析：(1)因为x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，所以q是p的必要条件． (2)因为两个三角形相似推不出两个三角形全等，所以q不是p的必要条件． (3)因为方程x2－x－m＝0无实根，所以Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m＜0， 解得m＜－.因为m＜－2⇒m＜－，所以q是p的必要条件． 　　方法技巧 必要条件的判定方法 1．定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论． 2．集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围． 3．传递法：由递推式的传递性：p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则pn是p1的必要条件． 即时练1.下列命题中，q是p的必要条件的是 ．(填序号) ①p：x＋y＞5，q：x＞2且y＞3；②p：四边形是正方形，q：四边形的四个角都相等；③p：x－1＞0，q：x2－1＞0. 解析：①由于x＋y＞5推不出x＞2且y＞3，故q不是p的必要条件． ②由四边形是正方形可以推出四边形的四个角都相等，故q是p的必要条件． ③由x－1＞0解得x＞1，所以x2－1＞0成立，故q是p的必要条件． 答案：②③ 即时练2.指出下列各组命题中，q是p的必要条件吗？ (1)p：|x|＞1，q：x＞1；(2)p：A⊆B，q：A∩B＝A. 解析：(1)若p：|x|＞1成立，可取x＝－2，q：x＞1不成立，即p⇒/ q，所以q不是p的必要条件． (2)若p：A⊆B成立，则必有A∩B＝A，即p⇒q，所以q是p的必要条件． 学生用书第16页 知识点二　充分条件与判定定理 如何理解“绳锯木断”“水滴石穿”？“木断”是否一定是因为“绳锯”？“石穿”是否一定是因为“水滴”？ 提示：“绳锯”可以导致“木断”，使“木断”的方法有很多，可以是电锯锯断，也许是直接掰断，也许是因为“绳锯”；同样“水滴”可以导致“石穿”，使“石穿”的方法也有很多，“水滴”只是其中的一种方式．正所谓“滴水能把石穿透，学习功到自然成”． 充分条件：一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件．综上，对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件． [微提醒]　数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 记结论：充分条件、必要条件与集合的关系 A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}． A⊆B p是q的充分条件 q是p的必要条件 AB p是q的不充分条件 q是p的不必要条件 B⊆A q是p的充分条件 p是q的必要条件 BA q是p的不充分条件 p是q的不必要条件 (1)(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A．p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0，x∈R B．p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等 C．p：a＞2且b＞2，q：a＋b＞4，ab＞4 D．已知a，b为正实数，p：a＞b＞1，q：a2＞b2＞0 (2)给出下列四个条件：①a＞0，b＞0；②a＜0，b＜0；③a＝3，b＝－2；④a＞0，b＜0且|a|＞|b|，其中 是a＋b＞0的充分条件．(填序号) 解析：(1)A，因为(x＋1)(x－2)＝0，所以x＝－1或x＝2，不能推出x＋1＝0. 所以p不是q的充分条件． B，因为两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，所以p不是q的充分条件． C，由a＞2且b＞2⇒a＋b＞4