第二十一章 一元二次方程 单元知识链接 2023-2024学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程—2023-2024学年人教版数学九年级上册单元知识链接 【单元学习目标】 1.会判断一个方程是不是一元二次方程. 2.会将一元二次方程化为一般形式，知道各项的名称. 3.能根据一元二次方程的特征选择适当的方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 4.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，并能根据根的情况，确定方程中字母系数的取值范围. 5.了解一元二次方程的根与系数的关系，会运用一元二次方程根与系数的关系解决一些简单问题. 6.会分析实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解决实际问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 【单元思维导图】 【单元知识梳理】 一元二次方程的概念 1.一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件： （1）是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2. 【注意】 对于二次项的系数含有字母的方程，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程.例如，关于x的方程，当时，该方程是一元一次方程. 一元二次方程的一般形式 一般形式 项及项的系数 二次项为；二次项系数为. 一次项为；一次项系数为. 常数项为. 特点 方程左边时关于未知数的二次整式，方程右边为0. 【注意】 （1）“”是一元二次方程的重要组成部分，当时， 就成了一元一次方程，但如果明确了是一元二次方程，就隐含了这个条件. （2）确定一元二次方程的项及系数时，必须先将方程化成一般形式，习惯上把二次项系数化为正数. （3）指出一元二次方程的项和各项的系数时，一定要带上系数前的符号. 直接开平方法解一元二次方程 1.直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 2.方程的根 （1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 （2）当时，方程有两个相等的实数根 （3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根. 【注意】 （1）直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程. （2）若，则x为p的平方根，即，切记不要漏掉负的平方根. （3）因为负数没有平方根，所以关于x的一元二次方程有解的前提条件是p是非负数，即. 配方法解一元二次方程 1.配方法：把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 2.可化为的形式的一元二次方程的根 （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根. 3.用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 示例 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边. 二化 二次项系数化为1 左右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左右两边同时加上一次项系数一半的平方 ，即 四开 开平方求根 利用平方根的意义直接开平方 【注意】 配方法的依据是完全平方公式的逆用和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的方程形式，从而把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式：当时，方程的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式. 2.公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 （1）整理方程：将方程整理为的形式，找到公式中的，要注意的符号. （2）计算根的判别式：将的值代入计算，并判断的符号. （3）求根：当时，方程有两个不相等的实数根，即 ；当时，方程有两个相等的实数根，即；当时，方程无实数根. 【注意】公式法是解一元二次方程的通用解法，它适用于所有一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法：先对方程的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将方程化为一般式； （2）分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； （3）转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是医院二次方程的解. 【注意】不能随意在方程两边约去含未知数的代数式.如，若约去x，则会