第二章 专题提能-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套课件，文科（人教A版 老教材 老高考）

　函数与导数综合问题的突破策略 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 [例1]　已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线的斜率为－1. (1)求a的值及函数f(x)的极值； 1 一轮 · 数学 [解]　(1)由f(x)＝ex－ax得f′(x)＝ex－a， 则f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2. 所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 所以，当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 故当x＝ln 2时，f(x)有极小值且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值． 1 一轮 · 数学 (2)求证：当x＞0时，x2＜ex； (2)证明：令g(x)＝ex－x2(x∈(0，＋∞))， 则g′(x)＝ex－2x. 由(1)得g′(x)≥f(ln 2)＞0， 所以g(x)为增函数， 因此，当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0， 即x2＜ex. 1 一轮 · 数学 (3)求证：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2＜cex. 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 证明：函数f(x)的图象在x＝x0处的切线方程为y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)． 令h(x)＝f(x)－g(x) ＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)， 则h′(x)＝f′(x)－f′(x0) 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 ∵x0＜1，∴φ′(x)＜0， ∴φ(x)在R上单调递减． 又φ(x0)＝0， ∴当x＜x0时，φ(x)＞0，当x＞x0时，φ(x)＜0，∴当x＜x0时，h′(x)＞0，当x＞x0时，h′(x)＜0，∴h(x)在区间(－∞，x0)上为增函数，在区间(x0，＋∞)上为减函数，∴h(x)≤h(x0)＝0，∴f(x)≤g(x)． 1 一轮 · 数学 2．“拆分法”构造函数 当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉．这时可以将原不等式合理拆分为f(x)≤g(x)的形式，进而证明f(x)max≤g(x)min即可，此时注意配合使用导数工具．在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准． 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 (2)求证：f(x)＞1. 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 3．“换元法”构造函数 [例3]　已知函数f(x)＝ax2＋xln x(a∈R)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x＋3y＝0垂直． (1)求实数a的值； [解]　(1)因为f(x)＝ax2＋xln x，所以f′(x)＝2ax＋ln x＋1，因为切线与直线x＋3y＝0垂直，所以切线的斜率为3，所以f′(1)＝3， 即2a＋1＝3，故a＝1. 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 已知函数f(x)＝x2ln x. (1)求函数f(x)的单调区间； 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 (2)求证：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t＝f(s)； 解：(2)证明：当0＜x≤1时，f(x)≤0. 设t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)． 由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln et－t＝t(e2t－1)＞0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立． 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 4．“转化法”构造函数 在关于x1，x2的双变元问题中，若无法将所要证明的不等式整体转化为关于m(x1，x2)的表达式，则考虑将此不等式化简为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的过程． 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 (2)设a＜0，若∀x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，求a的取值范围． 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 B 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 [例6]　已知函数f(x)＝x－1