第九章 第五节　离散型随机变量的分布列、均值与方差-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第五节　离散型随机变量的分布列、均值与方差 授课提示：对应学生用书第260页 1．随机变量 随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…，表示． 2．离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量． 3．离散型随机变量的分布列 (1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)性质：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②pi＝1. 4．离散型随机变量X的均值与方差 均值(数学期望) 方差 计算公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn D(X)＝ (xi－E(X))2pi 作用 反映了离散型随机变量取值的平均水平 刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度 标准差 方差的算术平方根为随机变量X的标准差 5.常见两类特殊的分布列 (1)两点分布： 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布： 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式： X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． (3)两点分布的均值与方差： 若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 均值与方差 (1)均值E(X)＝xipi. (2)方差D(X)＝ (xi－E(X))2pi＝E(X2)－E2(X)． (3)若X服从两点分布，则D(X)max＝，此时p＝. (4)若a，b为常数，X是随机变量， 则E(aX＋b)＝aE(X)＋b， D(aX＋b)＝a2D(X)． 1．若某一射手射击所得环数X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率是(　　) A．0.88 B．0.12 C．0.79 D．0.09 答案：A 2．设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 则p为(　　) A. B. C. D. 答案：B 3．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 则X的数学期望E(X)＝(　　) A．2 B．2或 C. D．1 答案：C 4．若随机变量满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)＝________. 答案：0 5．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________． 答案：0,1,2,3 授课提示：对应学生用书第261页 题型一　离散型随机变量分布列的求法与性质　 [典例]　(1)设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 求2X＋1的分布列． [解]　当X＝1,2,3,4时，2X＋1对应的值分别为3,5,7,9，其分布列为 2X＋1 3 5 7 9 P (2)某农户计划于2022年初开始种植新型农作物．根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表： 该农作物亩产量/kg 900 1 200 概率 0.5 0.5 该农作物市场价格/(元/kg) 30 40 概率 0.4 0.6 设该农户种植该农作物一亩的收入为X元，求X的分布列． [解]　由题意知X的所有可能取值为27 000,36 000，48 000，设A表示事件“农作物亩产量为900 kg”，则P(A)＝0.5， B表示事件“农作物市场价格为30元/kg”，则P(B)＝0.4， 则P(X＝27 000)＝0.5×0.4＝0.2， P(X＝36 000)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5， P(X＝48 000)＝0.5×0.6＝0.3， ∴X的分布列为 X 27 000 36 000 48 000 P 0.2 0.5 0.3 方法总结 1.求离散型随机变量X的分布列的步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能取值． (2)求X取每个值的概率． (3)写出X的分布列．