第六章 第四节　基本不等式-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第四节　基本不等式 授课提示：对应学生用书第156页 1．重要不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)． 2．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件是a>0，b>0. (2)等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均，称为正数a，b的几何平均． 3．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 1．基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab≤2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)． (2)a＋b≥2(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)． 2．几个重要的结论 (1)≥2. (2)＋≥2(ab＞0)． (3)≤≤≤ (a＞0，b＞0)． 1．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 答案：C 2．若x＜0，则x＋(　　) A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2 答案：D 3．已知x>1，则x＋的最小值为________． 答案：5 4．若＋＝1(a>0，b>0)，则a＋b的最小值为________________． 答案：4 5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________． 答案：30 授课提示：对应学生用书第157页 题型一　利用基本不等式求最值　 类型 1　直接应用基本不等式求最值 [例1]　若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A. B．2 C．2 D．4 [解析]　法一：由已知得＋＝＝ ，且a>0，b>0， ∴ab＝b＋2a≥2， ∴ab≥2 . 法二：由题设易知a＞0，b＞0， ∴＝＋≥2 ，即ab≥2. [答案]　C 类型 2　配凑法 [例2]　(1)已知x＞，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________． [解析]　因为x＞，所以4x－5＞0，所以f(x)＝4x－2＋＝(4x－5)＋＋3≥2 ＋3 ＝2＋3＝5. 当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号，所以f(x)的最小值为5. [答案]　5 (2)函数y＝(x＞1)的最小值为________． [解析]　y＝＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2 ＋2 ＝2＋2(x＞1)． 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立． [答案]　2＋2 类型 3　“1”的代换 [例3]　(2023·西安模拟)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 [解析]　由lg 2x＋lg 8y＝lg 2得，lg 2x＋3y＝lg 2， ∴x＋3y＝1，＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4. [答案]　C 方法总结 1．基本不等式应用的前提： “一正”“二定”“三相等”． 2．要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． 3．条件不等式最值的求解通常有三种方法： 一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法． 4．应用基本不等式的注意事项： (1)利用基本不等式求最值时，一定要注意应用基本不等式的前提条件． (2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．　　 1．若直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，则＋的最小值为(　　) A．2 B．6 C．12 D．3＋2 解析：因为直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，所以2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即n＝m时取等号，所以＋的最小值为3＋2. 答案：D 2．若实数x，y满足x－3y＝4，则2x＋的最小值为__________． 解析：∵x－3y＝4，∴2x＋≥2＝2＝2＝8.当且仅当x＝－3y＝2，即x＝2，y＝－时等号成立，∴2x＋的最小值为8. 答案：8 题型二　基本不等式的综合应用　 类型 1　判断不等关系 [例1]　(2023·南昌模拟)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　) A．a＋b≥2 B．a2＋b2>2ab C.＋≥2 D.≥2 [解析]　对于选项A，当a，b均为负数时，a＋b≥2 不成立； 对于选项B，当a＝b时，a2＋b2>2ab不成立； 对于选项C，当a，b异号时，＋≥2不成立； 对于选项D，因为，同号，所以＝＋≥2