第二章 第十节　变化率与导数、定积分与微积分基本定理-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参，理科（人教A版 老教材 老高考）

第十节　变化率与导数、定积分与微积分基本定理 授课提示：对应学生用书第53页 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)导数的几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 3．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 4．定积分的几何意义和性质 (1)定积分的几何意义： f(x) f(x)dx的几何意义 f(x)≥0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 f(x)＜0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 f(x)在[a，b] 上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 (2)定积分的性质： ①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)． ②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx. ③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)． 5．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿­莱布尼茨公式． 1．“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点． 2．“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 1．若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于(　　) A．0　　　　B．e C．2e　　　　D．e2 答案：C 2．已知f(x)＝x·ln x，则f′(x)＝(　　) A. B．x＋1 C.＋x D．ln x＋1 答案：D 3．函数f(x)＝x3在(0,0)处的切线为(　　) A．不存在 B．x＝0 C．y＝0 D．y＝x 答案：C 4．曲线y＝ex过点(0,0)的切线的斜率为________． 答案：e 答案：2 授课提示：对应学生用书第54页 题型一　导数的计算　 1．已知函数f(x)＝x(2 021＋ln x)，且f′(x0)＝2 022，则x0＝(　　) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e 解析：∵f(x)＝x(2 021＋ln x)＝2 021x＋xln x， ∴f′(x)＝2 021＋ln x＋x·＝2 022＋ln x. 又f′(x0)＝2 022，∴ln x0＝0，∴x0＝1. 答案：B 2．若f(x)＝sin，则f′＝________. 解析：∵f(x)＝sin， ∴f′(x)＝′cos＝2cos， ∴f′＝2cos＝－2. 答案：－2 3．已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，求f′(1)的值． 解：∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3， ∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3， 解得f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8. 4．求y＝＋的导数． 解：∵y＝＋＝＋＝＝－2， ∴y′＝′＝＝. 方法总结 1．求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等变形，对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． 2．求导公式或求导法则中，要注意“＋”“－”的变化，如(cos x)′＝－sin x．区分f′(x)与f′(x0)． 3．复合函数的求导，要分清复合的层次．　　 题型二　导数的几何意义及应用　 类型 1　求斜率、切线方程 [例1]　(1)(2023·白山模拟)已知函数f(x)＝(