专题7.3 平面向量的内积（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（四川专用）

专题7.3 平面向量的内积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 1．数量积的概念 已知两个非零向量a与b，我们把数量cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积． 2．数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； ③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (2)常用结论①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③ a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0； 3．数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 ① e·a＝ |a|cosθ ② a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b| 特别地，a·a＝|a|2或＝. ④ cosθ＝ 4．数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ① a·b＝x1x2＋y1y2； a2＝x＋y； ＝. ② a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 一、 平面向量内积的定义 例1、已知向量与满足，且，则与的夹角等于 ． 例2、已知向量满足，则（       ） A．2 B． C．1 D． 例3、已知，且，则向量夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 例4、已知等边三角形ABC的边长为2，则（       ） A．2 B． C． D． 例5、已知单位向量满足，且，，则_________. 例6、平面向量与的夹角为，，则 . 1、已知向量，，若与的夹角为，则为（       ） A． B． C． D．1 2、若，，，则向量与的夹角为（       ） A． B． C． D． 3、已知与均为单位向量，且与的夹角为，则（       ） A．2 B． C． D．1 4、若平面向量的夹角为，且，则（       ） A． B． C． D． 5、若，且，则 . 6、向量，满足，，，则向量与夹角的大小为 . 二、平面向量内积的坐标运算 例1、已知，是两个平面向量，，若，则 ． 例2、已知向量，，则______. 例3、若向量，，已知与的夹角为，则实数k是 ． 例4、若向量，且与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例5、已知向量，，且与垂直，则实数 . 例6、已知向量,，若的夹角为，则= . 1、已知向量，若，则（      ） A．4 B．4 C．1 D．1 2、设向量，，则与的夹角等于（       ） A． B． C． D． 3、设向量，，且，则=（       ） A．1或3 B．3 C．1或5 D．5 4、已知向量，，且，则（       ） A．6 B． C． D． 5、已知向量，，若，则___________. 6、已知向量，，，若与垂直，则 . $$ 专题7.3 平面向量的内积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 1．数量积的概念 已知两个非零向量a与b，我们把数量cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积． 2．数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； ③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (2)常用结论①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③ a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0； 3．数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 ① e·a＝ |a|cosθ ② a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b| 特别地，a·a＝|a|2或＝. ④ cosθ＝ 4．数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ① a·b＝x1x2＋y1y2； a2