8.1 复数的概念（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

8.1 复数的概念 知识点一 虚数单位 1；虚数单位定义：为了使方程x2＝－1有解，引进一个新数i，叫做虚数单位. （1） i2＝－1 （2） 实数与i进行四则运算时，原有的加法、乘法法则仍然成立。 2：i幂值的周期性 （1） （2） 知识点二 复数的概念 1.复数 (1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 3.复数的分类 （1）复数z＝a＋bi(a，b∈R) （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 4.复数相等 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 知识点三 复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用直角坐标平面内的一个点Z(a，b)来表示，如图： 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3.复数的模 （1）定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝. 知识点四 共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi. 考点1 复数的概念 【例1】下列命题中，真命题的个数是（    ） （1）；    （2）；    （3）；    （4） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题技法】复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 【变式1-1】下列命题正确的是（    ） A．实数集与复数集的交集是空集 B．任何两个复数都不能比较大小 C．任何复数的平方均非负 D．虚数集与实数集的并集为复数集 【变式1-2】关于复数的下列说法错误的是（    ） A．复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系 B．在复平面中，实轴上的点都表示实数 C．在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数 D．复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系 考点2 复数的分类 【例2】实数取什么值时，复数是 (1)实数； (2)纯虚数. 【解题技法】解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部； (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可； (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)： ①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.　　　　 【变式2-1】已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知复数是纯虚数，则实数 . 【变式2-3】已知复数为实数，则 . 考点3 复数相等 【例3】已知，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【解题技法】复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的. 【变式3-1】适合的实数x、y的值为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式3-2】若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【变式3-3】已知x、，若，则 ． 考点4 复数与复平面内的点的关系 【例4】已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题技法】利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据. (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 【变式4-1】若复数，则在复平面上的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】在复平面内，复数，则对应的点位于