2.3 等腰三角形的性质定理（讲+练，4题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（浙教版）

2.3 等腰三角形的性质定理 1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念 2. 掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理 3. 掌握有一个角是30°的直角三角形的性质 知识点一 等腰三角形的性质 1.性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 数学语言:如图所示,在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C. 拓展：由“等腰三角形的两个底角相等”,可以得到以下推论:等边三角形的各个内角都等于 60° 2.性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)数学语言:如图所示,在△ABC中， (1) ∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴ (2) ∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD =∠CAD，ADBC; (3) ∵AB=AC,ADBC,∴∠BAD =∠CAD,BD=CD. 知识点二 等腰三角形的其他性质 (1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等 (2)等腰三角形两底角的平分线相等 (3)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 (4)当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形,它的两条直角边相等,两个锐角都是45° 注意： (1)应用“三线合一”性质的前提是在等腰三角形中,且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线.等腰三角形一腰上的高与中线不一定重合. (2)等腰三角形是轴对称图形顶角平分线(或底边上的高,或底边上的中线)所在的直线是它的对称轴 即学即练1 （2021春·福建漳州·八年级福建省诏安县第二实验中学校考阶段练习）已知等腰三角形的一个角为40°，求它另外两个角的度数． 即学即练2 （2023春·山东青岛·八年级统考期末）等腰三角形的一个角100°，它的另外两个角的度数分别为 ． 即学即练3 （2022春·山东淄博·七年级统考期末）证明：等腰三角形两底角的平分线相等．（请写出已知，求证，证明过程，并画出图形） 题型一 根据等边对等角求角度 例1（2023秋·浙江杭州·八年级杭州市公益中学校考阶段练习）如图，在中，，，是的平分线，延长至E，使，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 举一反三1 （2023秋·浙江·八年级校联考阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．    (1)已知的周长，求的长； (2)若，，求的度数． 举一反三2 （2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，点分别在上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 题型二 根据等边对等角证明 例2（2023·浙江温州·统考二模）如图，在中，，P为的中点，D，E分别为，上的点，且．    (1)求证：． (2)若，，求的度数． 举一反三1 （2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，点P为内部一点，使得，，且，求的度数是 ．    举一反三2 （2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，．求证：    (1)； (2)． 题型三 根据三线合一求解 例3 （2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．一个角的补角是钝角 C．如果，那么 D．等腰三角形的对称轴是顶角平分线、底边的高线、底边的中线所在的直线 举一反三1 （2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图所示，在直角三角形中，，在上截取，作的平分线与交于点P，连接．若，的面积为2，则的面积为（　　）    A．1 B． C． D． 举一反三2 （2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，为外一点，，平分的一个外角，．若，，则的长为 ．    题型四 根据三线合一证明 例4 （2022秋·浙江台州·八年级校考期中）在中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，．    (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 举一反三1 （2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）已知：如图，，，，在同一直线上，，．求证：． 举一反三2 （2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图所示，在中，，点是上一点，于点， (1)若，求的度数； (2)若点是的中点，证明． 1、 单选题 1．（2022秋·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如图，，点B关于的对称点E恰好落在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，AD是等腰△ABC底边BC边上的中线，BE平分∠ABC，交AD于点E，AC＝12，DE＝3，则△ABE的面积是（　　） A．16 B．18 C．32 D．36 3．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（