(配套教参)第四章 第3节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word（新教材，人教B版）

第3节　三角恒等变换 课程标准解读 1．能用单位圆推导出两角差的余弦公式，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． [知识梳理] 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β． cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β． tan(α±β)＝． 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α． cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1 ＝1－2sin2α． tan 2α＝． 3．半角公式 sin＝± ，cos＝± ， tan＝± (其中根号前的正负号，由角所在象限确定)． 4．辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝. 　辅助角公式实质是和(差)角公式的逆用，可化为asin x＋bcos x＝ ·cos(x－φ)，其中tan φ＝. 常用结论 1.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. 2.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2 α，1－cos 2α＝2sin2α. 3.常用变形：1＋sin 2α＝（sin α＋cos α）2， 1－sin 2α＝（sin α－cos α）2， sin α±cos α＝sin（α±）， tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan αtan β）. [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　) (4)锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改编)cos 40°sin 70°－sin 40°sin 160°＝(　　) A．－　　 B．　　 C．－　　 D． 解析：B　原式＝cos 40°cos 20°－sin 40°sin 20°＝cos(40°＋20°)＝. 3．(教材改编)＝________． 解析：原式＝ ＝＝＝. 答案： 4．(易错自纠)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________． 解析：因为α，β为锐角，且sin α＝<， 所以cos α＝，且α∈(0，)． 由cos β＝>， 得sin β＝，且β∈(0，)， 所以sin(α＋β)＝sin α ·cos β＋cos α·sin β＝×＋×＝. 又α＋β∈(0，)，所以α＋β＝. 答案： 5．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　) A． B． C． D． 解析：D　因为＋＝，所以cos＝cos(－)＝sin，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos(2×)＝cos＝.故选D． 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切 考点一　公式的基本应用（基础性） 1．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝(　　) A．　 B．－　 C．－　 D． 解析：B　∵α是第三象限角， ∴sin α<0， 且sin α＝－＝－ ＝－， 因此sin(α＋)＝sin αcos＋cos αsin ＝(－－)＝－. 2．已知sin α＝，α∈(，π)，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 解析：A　∵α∈(，π)，∴cos α＝－，tan α＝－，又tan(π－β)＝，∴tan β＝－， ∴tan(α－β)＝ ＝＝－. 3．(2023·安徽联考)已知cos(α＋)＝，则sin(2α＋)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：B　∵cos(α＋)＝， ∴sin(2α＋π)＝sin[＋2(α＋)] ＝cos2(α＋)＝2cos2(α＋)－1＝. 1．使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． 2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 考点二　公式的逆用及变形（综合性） 　(1)(多选题)下列选项中，值为的是(　　) A．sinsin B．－cos215° C．＋ D．cos 72°·cos 36° [解析]　对于A，sin sin ＝sincos＝sin＝，故A正确； 对于B，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝ －cos 30°