(配套教参)第四章 第1节 任意角和弧度制及三角函数的概念-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第1节　任意角和弧度制及三角函数的概念 课程标准解读 1．了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． [知识梳理] 1．角的概念的推广 (1)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和不属于任何象限的角． (2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角．弧度单位用符号rad表示．这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制． (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad，②1 rad＝()° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 定义：设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上的任一点，对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 4．三角函数线 设，，分别为α的余弦线、正弦线、正切线，则各象限内的三角函数线如表所示： 第一象限 第二象限 图 形 第三象限 第四象限 图形 常用结论 1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．象限角与轴线角 (1) (2) (3) 3．重要不等关系：若α∈(0，)，则sin α<α<tan α. [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(多选题)(教材改编)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　) A．第一象限角　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：AC　依题意k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z. 则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z. 故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角； 当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角． 3．(教材改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________． 解析：由题意知，＝－，解得y＝－8. 答案：－8 4．(多选题)(易错自纠)下列三角函数值的符号正确的是(　　) A．sin 3°>0　　　　 B．cos 3<0 C．tan π＝0 D．sin(－4)<0 解析：ABC　因为3°的角是第一象限角，<3<π，－<－4<－π，即3和－4是第二象限角，所以sin 3°>0，cos 3<0，tan π＝0，sin(－4)>0. 5.(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　　) A． B． C． D． 解析：B　由题意知，△OAB是等边三角形，所以AB＝OA＝2.连接OC(图略)，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，OC＝＝，又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，所以CD＝OD－OC＝2－，所以s＝AB＋＝2＋＝.故选B. 考点一　角的概念及表示（基础性） 1．(多选题)下列四个命题中正确的是(　　) A．－是第二象限角 B.是第三象限角 C．－400°是第四象限角 D．－315°是第一象限角 解析：BCD　－是第三象限角，故A错误． ＝π＋，所以是第三象限角，故B正确． －400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故C正确． －315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故D正确． 2．写出两个与－的终边相同的角为________． 解析：与－终边相同的角α＝2kπ－，k∈Z. 当k＝1时，α＝－，当k＝2时，α＝. 答案：－，(答案不唯一) 3．集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 解析：C　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样．当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋