(配套教参)第三章 第3节 导数与函数的极值、最值-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第3节　导数与函数的极值、最值 课程标准解读 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值． [知识梳理] 1．极值和极值点的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1)f(x)＜f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值； (2)f(x)＞f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值． 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小． 　(1)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值． (2)极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．函数的最值与导数 一般地，如果函数y＝f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点． 　极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值． 常用结论 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点． 3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大．(　　) (2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　) (3)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　) (4)开区间上的单调连续函数无最值．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)如图所示的是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 解析：A　由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正． 3．(教材改编)函数y＝xex的最小值是(　　) A．－1 B．－e C．－ D．不存在 解析：C　由y＝xex，得y′＝ex(1＋x)，x∈R. 令y′＝0，得x＝－1. 当x＞－1时，y′＞0；当x＜－1时，y′＜0. 所以当x＝－1时，函数取得最小值， 且ymin＝－. 4．(易错自纠)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，在x＝1处取得极值10，则a＋b＝________，f(2)＝________． 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 又f(x)在x＝1处取得极值10. ∴即 解得或 当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0 此时f(x)在R上单调递增，不合题意，舍去． ∴a＝4，b＝－11，则a＋b＝－7 故f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， ∴f(2)＝18. 答案：－7　18 5．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 解析：B　易知f′(x)＝－(x＞0)． 又x＝1时，f(x)取到最大值－2. ∴，则a＝b＝－2. 因此f′(x)＝－＋，则f′(2)＝－. 考点一　利用导数求函数的极值（基础性） [角度1]　根据函数图象判断极值 　(多选题)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(　　) A．f(x)在x＝－3处取得极小值f(－3) B．－1是函数y＝f(x)的极小值点 C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D．－2是函数y＝f(x)的极大值点 [解析]　根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＜0，当x∈(－3，－1)时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，－1)上单调递增． 则f(x)在x＝－3处取得极小值f(－3)，A正确． 因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，所以B错误，C正确，D错误． [答案]　AC [角度2]　求已知函数的极值 　已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数． [解]　(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，x＞0.且f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(