(配套教参)第三章 第2节 导数与函数的单调性-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第2节　导数与函数的单调性 课程标准解读 1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． [知识梳理] 1．利用导数研究函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)． f′(x)>0⇒f(x)在(a，b)上单调递增． f′(x)<0⇒f(x)在(a，b)上单调递减． f′(x)＝0⇒f(x)在(a，b)上没有单调性． 　“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件． 2．利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 常用结论 1．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 2．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　) (2)如果f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　　) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(多选题)(教材改编)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　) A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e) C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(d)>f(e) 解析：CD　由图象知，当x<c时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0. 所以f(x)在(－∞，c)上单调递增，在(c，e)上单调递减． 因为a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)． 因为c<d<e，所以f(c)>f(d)>f(e)． 3．(教材改编)函数f(x)＝xln x的单调递减区间是________． 解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)， 又f′(x)＝ln x＋1(x>0)， 由f′(x)<0，得0<x<. 答案：(0，) 4．(易错自纠)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值是________． 解析：f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1，4]， ∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]， ∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根， 则a＝(－1)×4＝－4. 答案：－4 5．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　) A．a>0>b　　　　 B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a 解析：A　由9m＝10，得m＝log910>1. 令f(x)＝xm－(x＋1)，则f′(x)＝mxm－1－1. 易知当x>1时，f′(x)>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 所以f(8)<f(9)<f(10)，即8m－9<9m－10<10m－11， 因此a>0>b. 考点一　不含参数的函数的单调性（基础性） 1．函数f(x)＝－x的单调递增区间是(　　) A．(0，4)　　　　　　　 B．(－∞，1) C．(0，1) D．(－∞，4) 解析：C　由题意得函数f(x)的定义域是[0，＋∞)， f′(x)＝－＝()， 令f′(x)>0，即1－>0，解得0<x<1. 故f(x)在(0，1)上单调递增． 2．(2023·石家庄调研)函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是________． 解析：f(x)＝2x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝. 由f′(x)＝<0，得 解之得0<x<. 所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)． 答案：(0，) 3．(2023·长沙一中质检)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________． 解析：f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x. 令f′(x)＝xcos x>0， 则在区间(－π，π)上的解集为(－π，－)∪(0，)． 故f(x)的单调递增区间为(－π，－)和(0，)