(配套教参)第三章 导数及其应用 热点突破课-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

热点突破课　导数的综合应用 第1课时　利用导数证明不等式 不等式的证明是高考命题的热点，常与函数的性质、函数的零点与极(最)值等相关内容融合渗透，解题方法灵活多样，思维能力要求高．解题时要针对不同题目特点，采用不同的解题方法、灵活运用数学思想，达到事半功倍的效果． [真题案例] 　(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点． (1)求a； (2)设函数g(x)＝，证明：g(x)＜1. [思维导引] 理解题意 条件①f(x)＝ln(a－x)，②x＝0是y＝xf(x)极值点. 结论：①y′|x＝0＝0，②x＋f(x)>xf(x)． 思路探究 (2)先由(1)得到f(x)的定义域，进而得到xf(x)<0，再对g(x)＝<1变形，换元，得到只需证1－t＋tln t>0(t>0且t≠1)，然后构造函数h(t)＝1－t＋tln t，研究h(t)的单调性，即可得证. [解]　(1)由题意得y＝xf(x)＝xln(a－x)， 则y′＝ln(a－x)＋x[ln(a－x)]′＝ln(a－x)－. 因为x＝0是函数y＝xf(x)的极值点， 所以y′|x＝0＝ln a＝0，所以a＝1. 当a＝1时，y′＝ln(1－x)－，x∈(－∞，1)． 令p(x)＝ln(1－x)－， 则p′(x)＝－＝， 易知当x∈(－∞，1)时，p′(x)<0恒成立． 所以p(x)在(－∞，1)上为减函数，又p(0)＝0， 所以当x∈(－∞，0)时，p(x)>0； 当x∈(0，1)时，p(x)<0. 所以函数y＝xf(x)＝xln(1－x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，1)上为减函数． 因此x＝0是函数y＝xf(x)的极值点． 易错点：忽视对a＝1进行检验． f′(x0)＝0是x0为f(x)极值点的必要 不充分条件． 所以a＝1. (2)证明：由(1)知，f(x)＝ln(1－x)，x<1. 当0<x<1时，ln(1－x)<0，此时xf(x)<0， 当x<0时，ln(1－x)>0，此时xf(x)<0. 因此当x<1且x≠0时，总有xf(x)<0. 故要证g(x)＝<1，只需证x＋f(x)>xf(x)，即证x＋ln(1－x)－xln(1－x)>0. 令1－x＝t，则t>0且t≠1，则只需证1－t＋ln t－(1－t)ln t>0，即证1－t＋tln t>0. 令h(t)＝1－t＋tln t，则h′(t)＝ln t 当0<t<1时，h′(t)<0，当t>1时，h′(t)>0. 所以h(t)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当t>0且t≠1时，h(t)>h(1)＝0. 从而原不等式g(x)<1成立． 构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解． 热点突破一　移项构造函数证明不等式 　(2023·合肥一中质检)已知函数f(x)＝ln x－a(x＋1)．对任意x>0，求证：－a(x＋1)>f(x)． [证明]　设g(x)＝－a(x＋1)－f(x) ＝·－ln x， 则g′(x)＝·－＝ . 令r(x)＝2(x－1)ex－e2x，则r′(x)＝2xex－e2. 易得r′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且r′(1)＝2e－e2<0， r′(2)＝3e2>0， ∴存在唯一的实数x0∈(1，2)，使得r′(x0)＝0， ∴r(x)在区间(0，x0)上单调递减；在(x0，＋∞)上单调递增． 又r(0)＝－2<0，r(2)＝0， 当0<x<2时，r(x)<0，g′(x)<0； 当x>2时，r(x)>0，g′(x)>0. ∴g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 因此当x＝2时，g(x)取到最小值g(x)min＝g(2)＝1－ln 2>0. 综上，·－ln x>0，即－a(x＋1)>f(x)． 1．形如f(x)>g(x)＋a(x∈A)的不等式，两边含有