(配套教参)第六章 助学培优 构造法求数列的通项公式-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

根据数列的递推关系求通项公式，除累加法、累乘法之外，还可以构造特殊数列(常数列、等差数列、等比数列)求其通项公式，然后进一步求该数列的通项公式． 一、形如an＋1＝c an＋d(c≠0，其中a1＝a)型 　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则通项公式an＝________． [解析]　因为Sn＋1－2Sn＝1， 所以Sn＋1＝2Sn＋1. 因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，＝2. 因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2， 所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． 所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，故an＝2n－1(n∈N*)． [答案]　2n－1(n∈N*) 设an＋1＋λ＝c(an＋λ)，得an＋1＝can＋(c－1)λ，与题设an＋1＝can＋d比较系数得λ＝(c≠1)，所以an＋＝c(an－1＋)(n≥2)，即构成以(a1＋)为首项，c为公比的等比数列． 1．已知在数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为an＝________． 解析：因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0. 所以an＋1＋＝4(an＋)． 因为a1＝3，所以a1＋＝. 故数列是首项为，公比为4的等比数列． 所以an＋＝×4n－1，故数列{an}的通项公式为an＝×4n－1－(n∈N*)． 答案：×4n－1－(n∈N*) 二、形如an＋1＝(r，p，q为常数，r>0，p，q，an≠0)型 　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则an＝__________. [解析]　因为an＋1＝，a1＝2，所以an≠0， 所以＝＋，即－＝，又a1＝2，则＝，所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以＝＋(n－1)×＝，即an＝(n∈N*)． [答案]　(n∈N*) 此类问题的求解方法是等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式bn＝Abn－1＋B(n≥2，A，B是常数)，进而求解． 2．在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，则通项公式 bn＝________． 解析：递推式 bn＋1＝的两边同时取倒数，得＝， 即＝2·＋3， 因此＋3＝2·(＋3)，＋3＝2， 故是以2为首项，2为公比的等比数列，于是＋3＝2·2n－1＝2n，可得bn＝(n∈N*)． 答案：(n∈N*) 三、形如an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0，1，q≠0)型 　[一题多解]已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋() n＋1，则an＝________． [解析]　解法一：将an＋1＝an＋()n＋1两边同时除以，得2n＋1·an＋1＝(2n·an)＋1.令bn＝2n·an，则bn＋1＝bn＋1，将上式变形，得bn＋1－3＝(bn－3)．所以数列{bn－3}是首项为b1－3＝2×－3＝－，公比为的等比数列．所以bn－3＝－·()n－1，即bn＝3－2·()n.于是an＝＝－(n∈N*)． 解法二：将an＋1＝an＋()n＋1两边同时除以，得3n＋1an＋1＝3nan＋()n＋1.令bn＝3n·an，则bn＋1＝bn＋()n＋1，所以bn－bn－1＝()n，bn－1－bn－2＝()n－1，…，b2－b1＝()2.将以上各式累加，得bn－b1＝()2＋…＋()n－1＋()n(n≥2)．又b1＝3a1＝3×＝＝1＋，所以bn＝1＋＋()2＋…＋()n－1＋()n＝＝2·()n＋1－2(n≥2)，又b1＝满足上式，所以bn＝2·()n＋1－2. 故an＝＝－(n∈N*)． [答案]　－(n∈N*) 此类问题的求解方法是等式两边同时除以pn＋1，即得－＝q，则数列为等差数列，进而求解． 3．在数列{an}中，a1＝，且an＋1＝－2an＋3n＋1(n∈N*)，则通项公式an＝________． 解析：递推式的两边同时除以3n＋1， 得到＝－·＋1. 令bn＝，则bn＋1＝－bn＋1. 显然有bn＋1－＝－(bn－)，b1－＝－， 故{bn－}是以－为首项，－为公比的等比数列． 因此bn－＝－·(－)n－1， 可得an＝－·(－2)n－1＋·3n＋1(n∈N*)． 答案：－×(－2)n－1＋×3n＋1(n∈N*) 学科网（北京）股份有限公司 $$