(配套教参)第六章 第4节 数列求和-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第4节　数列求和 课程标准解读 1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． [知识梳理] 1．公式法 (1)等差数列{an}的前n项和Sn＝＝na1＋． 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{an}的前n项和Sn＝． 推导方法：错位相减法． 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 常用结论 1．一些常见的数列的前n项和 (1)1＋2＋3＋…＋n＝； (2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)； (3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2. 2．几种常见变形 (1)＝(－)． (2)等差数列{an}(an≠0)的公差为d(d≠0)，则＝(－)． (3)＝ (4)＝－. [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)若数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　) (2)当n≥2时，＝.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　) (4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　) A．2022　 B．2023　 C．2024　 D．2025 解析：B　由an＝＝－， 得Sn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－， 则1－＝，则可能得n＝2023. 3．(教材改编)一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是(　　) A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9) C．200(1－2－9) D．100(1－2－9) 解析：A　第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×＝100＋200(1－2－9)． 4．(易错自纠)设数列{an}的通项公式为an＝sin2n°，该数列的前n项和为Sn，则S89＝________． 解析：因为sin(90°－α)＝cos α， 所以sin2α＋sin2(90°－α)＝sin2α＋cos2α＝1. 因为S89＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°， 又S89＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°， 两式相加得2S89＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝1×89＝89，因此，S89＝＝44.5. 答案：44.5 5．(易错自纠)已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)，则数列{an}的前n项和Sn＝________． 解析：当n＝2k(k∈N*)时， Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an) ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[－(2n－3)＋(2n－1)] ＝2＋2＋…＋2＝2k＝n； 当n＝2k－1(k∈N*)时， Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)－(2n－1)＝－n， 所以Sn＝ 所以Sn＝(－1)nn. 答案：(－1)nn 考点一　分组求和与并项求和（综合性） 　已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． [解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. [母题探究]　本例(2)中，条件不变，求数列{bn}