(配套教参)第六章 第1节 数列基础-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第1节　数列基础 课程标准解读 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法. 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 3.能够利用an与Sn的关系求通项公式an. 4.掌握利用递推关系构造等差或等比数列求通项公式an. [知识梳理] 1．数列的概念 按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都称为这个数列的项． 2．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的通项公式 如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式． 4．数列的递推公式 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)． 常用结论 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2)， 若an最小，则(n≥2)． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．(　　) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析：D　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝. 3．(教材改编)数列，，，，，…的通项公式为an＝________． 解析：a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝，…通过观察可知an＝，n∈N*. 答案：，n∈N* 4．(易错自纠)若an＝n2－5n＋3，则当n＝________时，an取得最小值． 解析：an＝(n－)2－，又n∈N*，∴n＝2或3时an取得最小值． 答案：2或3 5．(易错自纠)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2n＋1－1，则数列{an}的通项公式为________． 解析：因为Sn＝2n＋1－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝S1＝3不满足上式， 故an＝ 答案：an＝ 考点一　由Sn与an的关系求an（综合性） 　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________． [解析]　由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝ [答案]　 (2)已知数列{an}满足1＋a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________． [解析]　对于1＋a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2(n∈N*)， 当n≥2时，可得1＋a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1＝(n－2)·2n＋2， 两式相减得nan＝(n－1)·2n＋1－(n－2)·2n＝n·2n，即an＝2n(n≥2)． 当n＝1时，可得1＋a1＝2，a1＝1，不满足上式， 所以数列 {an}的通项公式为an＝ [答案] an＝ (3)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则an＝________． [解析]　由an＋1＝3Sn得Sn＋1－Sn＝3Sn， ∴Sn＋1＝4Sn，又S1＝a1＝1≠0， ∴{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，∴Sn＝4n－1. ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1－4n－2＝3×4n－2， 又n＝1时，不适合上式，∴an＝ [答案]　 [母题探究]　将本例(1)中“Sn”变为Sn＝n2＋2n(n∈N*)，则an＝________． 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3， n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，适合n＝1， ∴an＝2n＋1. 答案：2n＋1 1．已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式． 2．Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(