(配套教参)第二章 第5节 指数与指数函数-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第5节　指数与指数函数 课程标准解读 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. [知识梳理] 1．根式的概念及性质 (1)概念：当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝__(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算法则 实数指数幂的运算法则：asat＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈R. 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)称为指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是 增函数 在(－∞，＋∞)上是 减函数 y＝ax与y＝()x的图象关于y轴对称 常用结论 1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(－1，)． 2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究． 3．在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1) ＝()n＝a(n∈N*)．(　　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改编)设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　) A．a　　　　　　 B．a C．a D．a 解析：C　由题意得＝a2－－＝a. 3．(教材改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，)，则f(－1)＝(　　) A．1 B．2 C． D．3 解析：C　依题意可知a2＝，解得a＝， 所以f(x)＝()x，所以f(－1)＝()－1＝. 4．(易错自纠)已知a＝()－，b＝()－，c＝()－，则a，b，c的大小关系是________． 解析：∵y＝()x是R上的减函数， ∴()－>()－>()0，即a>b>1， 又c＝()－<()0＝1， ∴c<b<a. 答案：c<b<a 5．设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________． 解析：依题意，f(－x)＋f(x)＝0. 则(e－x＋ex)(a＋1)＝0，∴a＝－1 ∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0恒成立． ∴ex－ae－x≥0，则a≤e2x恒成立． 又e2x>0，∴a≤0. 当a＝0时，f(x)＝ex是增函数，满足题意，故a≤0. 答案：－1　(－∞，0] 考点一　指数幂的运算（基础性） 1．计算(－)－＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝________． 解析：原式＝(－)－2＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－. 答案：－ 2．化简()－·＝________(a>0，b>0)． 解析：原式＝＝. 答案： 3．(经典高考题)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A．1.2天　　　　　　 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 解析：B　由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6， 得r＝＝＝0.38. 由题意，累计感染病例数增加1倍， 则I(t2)＝2I(t1)， 即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2， 即0.38(t2－t1)＝ln 2，