(配套教参)第五章 第4节 复数-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第4节　复数 课程标准解读 1．通过方程的解，认识复数.2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识.3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算． [知识梳理] 1．复数的有关概念 (1)复数的定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b． 所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}． (2)复数的分类：虚部为0的复数称为实数；虚部不为0的复数称为虚数；实部为0的虚数称为纯虚数． (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模：向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝__． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi平面向量. 3．复数的计算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)复数乘法的运算律 设z1，z2，z3∈C，则复数乘法满足以下运算律：①交换律：z1z2＝z2z1； ②结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)； ③乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3． 常用结论 1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． 3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)若复数z＝＋(m2－2m)i为纯虚数，则实数m的值为(　　) A．2 B．－3 C．2或－3 D．1或－3 解析：B　由题意得，解得m＝－3. 3．(教材改编)复数z＝(1－i)(3＋4i)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A　复数z＝(1－i)(3＋4i)＝7＋i对应的点为(7，1)，故位于第一象限． 4．(2022·浙江卷)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　) A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3 解析：B　(b＋i)i＝－1＋bi，则由a＋3i＝－1＋bi，得a＝－1，b＝3，故选B. 5．(易错自纠)已知a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b＝(　　) A．－1　　 B．－　　 C．　　 D．1 解析：D　由＝＝－i，从而知a＋bi＝i，由复数相等得a＝0，b＝1, 从而a＋b＝1. 考点一　复数的概念（基础性） 1．已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：C　由题可知复数的虚部为a－2，若该复数为实数，则a－2＝0，即a＝2.故选C． 2．复数的虚部是(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：D　＝＝＝＋i，所以虚部为. 3．(2022·郑州质量预测)若复数(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为(　　) A．1 B．－1 C． D．－ 解析：C　因为＝＝＋i，所以由题意，得＝，解得a＝，故选C． 4．(2022·全国乙卷)已知z＝1－2i，且z＋a ＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2